¿Cuál es el significado físico de la componente cero del cuadrivector de fuerza de Minkowski?

La fuerza de Minkowski es simplemente$dp^\mu/d\tau$. En el límite no relativista,$p^0$es energía y$\tau$es tiempo, entonces

$$F^0 \approx \frac{dE}{dt} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}.$$ Es decir, es la tasa de trabajo que la fuerza realiza sobre la partícula. (He bajado un factor de $c$aquí por simplicidad.)

Si$\:\mathbf{f}\:$es la fuerza 3-vector, como la fuerza de Lorentz, aplicada sobre una partícula de masa en reposo$\:m_{o}\:$moviéndose con velocidad 3-vector$\:\mathbf{w}\:$, entonces el cuadrivector de fuerza es

$$\begin{equation} \mathbf{F}=\left(\gamma_{w} \mathbf{f} , \gamma_{w}\dfrac{ \mathbf{f}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w} }{c}\right), \quad \gamma_{w}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{w^2}{c^2}}} \tag{001} \end{equation}$$ Ahora $\: \mathbf{f}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w} \:$es la tasa de trabajo $\:W\:$hecho sobre la partícula por la fuerza, tasa con respecto al tiempo $\:t\:$:

$$\begin{equation} \mathbf{f}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w}=\dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} \tag{002} \end{equation}$$ Si $\:\tau\:$es el tiempo propio, es decir, el tiempo en el marco de reposo de la partícula, entonces $$\begin{equation} \gamma_{w}=\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} \tag{003} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \gamma_{w}\left(\mathbf{f}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w}\right)=\dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}\tau} \tag{004} \end{equation}$$ Entonces, el componente cero ("tiempo") de los 4 vectores de fuerza multiplicado por $\:c\:$es la tasa de trabajo $\:W\:$hecho sobre la partícula por la fuerza, tasa con respecto al tiempo propio$\:\tau\:$. En el caso de fuerza de Lorentz y partícula con carga $\:q\:$

$$\begin{equation} \mathbf{f} =q\left(\mathbf{E}+\mathbf{w}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right) \tag{005} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \gamma_{w}\dfrac{\mathbf{f}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w}}{c}=\gamma_{w}\dfrac{q\left(\mathbf{E}+\mathbf{w}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right)\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w}}{c}=\dfrac{q\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{w}}{\sqrt{c^2-w^2}} \tag{006} \end{equation}$$
idéntica a la expresión en cuestión.