¿Es posible expresar la fuerza de Lorentz en términos de formas diferenciales?

A$p$-forma es, en términos tensoriales, un tensor cuyos componentes tienen exactamente$p$índices más bajos que son antisimétricos. Por ejemplo, la forma electromagnética de 2$F=dA$puede escribirse en términos de sus componentes de la siguiente manera:

$$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu.$$

Por su parte, un vector es, en términos tensoriales, un tensor cuyas componentes tienen exactamente un índice superior. Por ejemplo, la 4-velocidad relativista tiene componentes$u^\mu$.

Hay una forma de sacar el producto de un vector y un$p$-formular y obtener un$p-1$-forma de ella; se llama el producto interior . Las ecuaciones en la página de Wikipedia pueden parecer formidables, pero en términos de los componentes, simplemente contrae el índice del vector (superior) con el primer índice (inferior) del$p$-forma:

$$(\iota_u F)_\nu = u^\mu F_{\mu\nu},$$

dónde$\iota_u F$denota el producto interior del vector$u$con la forma 2$F$, y$(\iota_u F)_\nu$son los componentes de la forma 1 resultante. (Tenga en cuenta que si contrata un índice de un$p$-forma que tendrás$p-1$quedan índices antisimétricos más bajos, y es por eso que el producto interior toma$p$-formas de$p-1$-formas.)

Usando el producto interior, ahora podemos escribir muy fácilmente la forma de fuerza 1$f$como el producto interior de las 4 velocidades$u$con la forma electromagnética de 2$F$, veces la carga eléctrica$q$:

$$f = q \, \iota_u F,$$

o en términos de componentes,

$$f_\nu = q \, u^\mu F_{\mu\nu}.$$

Nota: A veces verá el producto interior escrito como$\iota_u F = u \lrcorner F$. En esta notación, la fuerza de Lorentz es$f = q \, u \lrcorner F$.

Lectura adicional: Geometría, topología y física, 2.ª edición, de Nakahara.