Ley de Ampère variable en el tiempo

La ley de Ampère se establece como

∇ × B → = m 0 j → .

Me han dicho que esto solo funciona en corrientes constantes y no con variaciones en el tiempo.

Sin embargo, la adición de Maxwell de + m 0 ε 0 ∂ mi → ∂ t significa que esto funciona para una corriente variable en el tiempo.

¿Por qué en el caso de una corriente constante significa esto que ∂ mi → ∂ t es cero, lo que nos da la ley de Ampère original, pero para una corriente variable en el tiempo ∂ mi → ∂ t se necesita y no es cero?

Entiendo conceptualmente que una corriente que varía en el tiempo significa que hay un retraso de propagación y la ley de Ampère (no corregida) es instantánea, pero solo con la ley de Maxwell-Ampère no puedo entender por qué.

Como en la corriente constante, hay electrones en movimiento (pero cancelados por protones), pero al variar el tiempo, el campo E alrededor del cable también debería ser cero. ¿Qué me estoy perdiendo?

Respuestas (4)

De acuerdo con la ley de Ampere, ∇ × B → = m 0 j → .

Si tomamos la divergencia en ambos lados y recordamos que la divergencia del rotacional es cero, obtenemos,

∇ . j → = 0
Lo que significa j → es solenoidal. Por lo tanto, en cada sección transversal también sale toda la corriente entrante, por lo que el valor de la corriente no cambia con el tiempo.

Ahora, la ecuación de continuidad nos dice,

∇ . j → + ∂ ρ ∂ t = 0
Por lo tanto concluimos que ∂ ρ ∂ t = 0

Pero, ¿qué significa? Significa que no hay fuente ni sumidero para la densidad de carga, lo que en realidad da como resultado una corriente constante.

En un circuito con capacitor y corriente variable, existe un campo magnético alrededor del componente, al igual que alrededor de otros puntos del cable. Incluso si no hay flujo de cargas entre las placas. Eso significa: el campo eléctrico cambiante entre las placas juega el mismo papel que la corriente en el cable.

Sí, pero en el caso de un circuito sin capacitor, cuando no hay corriente variable en el tiempo, el término j es otra forma de decir de/dt. pero cuando la corriente cambia de dirección (varía en el tiempo), ¿por qué se necesita de / dt cuando solo puede ser j?
La ecuación es válida de todos modos, porque en este caso mi = 0 y d mi / d t desaparece

j → = σ mi → , por lo que si la corriente (densidad) está cambiando, también lo está el campo eléctrico.

Tenga en cuenta que a menos que la conductividad σ es infinito, entonces incluso una corriente constante requiere que haya un campo eléctrico para "empujar" los electrones a través del cable. Dado que las condiciones de contorno para el campo eléctrico exigen que sea continuo tangencial a una interfaz, también existe un campo eléctrico fuera del cable.

¿O simplemente está preguntando por qué la corriente de desplazamiento ( ∂ mi → / ∂ t ) se requiere el término en absoluto? La respuesta es que sin ella, la ley de Ampere no funciona en situaciones con campos eléctricos que varían con el tiempo, porque la curvatura del campo B puede ser distinta de cero en regiones donde no hay densidad de corriente de conducción.

La región fuera de un cable que transporta una corriente variable en el tiempo es un ejemplo de eso. Sin el término de corriente de desplazamiento, el rotacional del campo B sería cero y no habría ondas electromagnéticas.

Entiendo que para una carga puntual en movimiento en cada punto del espacio hay un (¿cambio de densidad de corriente?)/cambio de campo e en cada punto del espacio, lo que significa que hay un rizo en el campo magnético no solo en el punto donde la carga se encuentra en un momento determinado. También entiendo que el campo magnético generado por el movimiento de esta carga puntual provoca una curvatura en el campo E. Pero para el caso de una corriente constante, no hay cambio en la densidad de corriente en cada punto del cable y no hay cambio en el campo eléctrico alrededor del cable de acuerdo con la ley de amperios para corriente constante,
pero para una corriente que varía en el tiempo, la densidad de corriente cambia, pero solo porque la velocidad de las cargas disminuye, no porque haya menos densidad de carga, por lo que la razón de / dt para corrientes no constantes no es cero porque el campo eléctrico alrededor de una carga en movimiento es impactado por su velocidad a través de su rotacional?
@jensenpaull J puede cambiar debido a un cambio en la velocidad de carga o en la densidad de carga. Cualquiera requiere un cambio en E. La versión microscópica de la ley de Ohm es j = σ mi . Entonces d j / d t = σ d mi / d t . Se requiere un campo E para hacer que fluya una corriente, excepto en los superconductores.

Para un caso estacionario mi → no es cero fuera del alambre, pero está libre de rotación y ∇ → ⋅ mi → = ρ / ϵ 0 . Para un caso variable en el tiempo mi → ya no es libre de rotación, pero aún tienes ∇ → ⋅ mi → = ρ / ϵ 0 . Lo que puede confundirte es que la rotación de E se origina en una corriente, no en una carga.

La razón más profunda es que originalmente E y B se crearon para describir la electricidad estática y el magnetismo, donde la distinción entre los dos es clara. Seguimos usando estos campos para describir situaciones no estáticas y aquí ya no existe una distinción clara. Bienvenido al electromagnetismo.

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