¿Es necesario que los campos EM sean dependientes y coexistan en condiciones estáticas?

Si no hay carga en movimiento, no hay campo magnético. Una carga puntual en reposo solo tiene un campo eléctrico, desde "su" punto de vista.

Sin embargo, los campos eléctrico y magnético no están separados , ya que alguien que se mueva con respecto a la carga en reposo vería un campo magnético debido al comportamiento de los campos bajo las transformaciones de Lorentz. Usted puede (para algunas situaciones, por ejemplo, la carga puntual) encontrar marcos donde el campo magnético o eléctrico se desvanece, pero eso tiene poca importancia.

Uno puede resolver las ecuaciones de Maxwell no solo cuando$E$y$B$son dependientes, pero cuando son múltiplos constantes entre sí, incluso en casos no estáticos.

Por ejemplo, si$E=-B$, entonces$-\nabla\cdot{}E=\nabla\cdot{}B=0$por lo que no hay fuentes. La Ley de Faraday dice$\frac{\partial{E}}{\partial{t}}=\nabla\times{}E$y Maxwell-Ampere dice$\frac{\partial{E}}{\partial{t}}+J=-\nabla\times{}E$. Pero$\frac{\partial{E}}{\partial{t}}=\nabla\times{}E$es una ecuación elíptica de primer orden y, dados los datos iniciales, se puede resolver hacia adelante en el tiempo al menos para una distancia corta (posiblemente, las singularidades podrían aparecer en un tiempo finito). Fuerzas de Maxwell-Ampere$J=-2\nabla\times{}E$, por lo que es necesario algún tipo de densidad de corriente interesante (y cambiante en el tiempo) para mantener$E=-B$. Pero físicamente razonable o no, ciertamente existen soluciones.

Desde una perspectiva más formal, resolver$\frac{\partial{E}}{\partial{t}}=\nabla\times{}E$Juntos con$\nabla\cdot{}E=0$es exactamente lo mismo que resolver$d\eta=0$dónde$\eta$es una forma auto-dual de 2 en$\mathbb{R}^4$con su métrica euclidiana. Dadas tres funciones pluriarmónicas en$\mathbb{C}^2$, se puede construir una solución para$d\eta=0$,$\eta\in\bigwedge{}^+$; así existen muchas soluciones no triviales, globales, fluidas, y también muchas soluciones con singularidades.

En el caso estático, suponga$E=fB$para alguna funcion$f$. Las ecuaciones de Maxwell se reducen a$\nabla\times{}E=0$y$\nabla\cdot{}E+\left<\nabla\log\,f,\,E\right>=0$. Este es un sistema elíptico de primer orden para$E$, así que dado cualquier$f$uno puede resolver para$E$, al menos si las singularidades de$\log\,f$no son tan malos. Nuevamente, uno tiene muchas, muchas soluciones, aunque la fuente y la densidad de corriente deben ser distintas de cero a menos que$f=const$.