Contenido de información de las ecuaciones electrostáticas de Maxwell vs Ley de Coulomb vs Ecuación de Poisson

En electrostática, tenemos las ecuaciones de Maxwell:

∇ ⋅ mi = ρ

∇ × mi = 0

Estas cuatro ecuaciones (la segunda línea representa tres ecuaciones) también se pueden escribir en términos del potencial electrostático:

− ∇ 2 V = ρ

mi = − ∇ V

Ahora bien, si conocemos las posiciones de cada carga en nuestro sistema, podemos encontrar el campo electrostático (total y completamente, sin necesidad de información adicional) usando la ley de Coulomb:

mi ( X ) = − ∇ ∫ ρ ( X ′ ) 4 π | X − X ′ | d 3 X ′

Mi pregunta es: ¿hasta qué punto podemos hacer lo mismo con las Ecuaciones de Maxwell? Por ejemplo, cada vez que la Ley de Coulomb se deriva de las ecuaciones de Maxwell, se debe apelar a la simetría esférica. ¿Debemos hacer esto? ¿No podemos usar el rizo que desaparece de alguna manera para llegar a la misma conclusión? De manera similar, si derivamos la Ley de Coulomb a partir de la ecuación de Poisson, debemos especificar las condiciones de contorno. Debemos especificar que el potencial es una constante, digamos cero, en el infinito.

Parece que el contenido de información es menor.

He leído un poco sobre la descomposición de Helmholtz, y parece que el rotacional y la divergencia de un campo vectorial (E, en este caso) determinan completamente el campo vectorial, siempre que se establezcan ciertas restricciones en la suavidad y la descomposición del campo. en el infinito En otras palabras, parece que, de hecho, las Ecuaciones de Maxwell (en el contexto de la electrostática) tienen menos contenido de información que la Ley de Coulomb.

Las ecuaciones de Maxwell (junto con la ley de fuerza de Lorentz) especifican completamente toda la electrodinámica clásica.
Si esto es así, ¿por qué (por ejemplo) una derivación de la Ley de Coulomb a partir de estas ecuaciones aparentemente requiere la suposición de simetría esférica?
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/44418/2451 y enlaces allí.

Respuestas (1)

Matemáticamente hablando, es cierto que las ecuaciones de Maxwell por sí solas no son toda la historia; son un conjunto de PDE para las que se deben especificar las condiciones de contorno por separado si se quiere resolverlas. Las condiciones de contorno pueden estar bien motivadas desde una perspectiva física en un escenario dado, pero no se derivan de las ecuaciones mismas.

En cuanto a la ecuación de Poisson frente a la Ley de Coulomb, no es necesario ningún requisito de simetría esférica. Comience con la ecuación de Poisson y establezca la densidad de carga para que sea la de una carga puntual, a saber

ρ ( X ) = q d ( X − X 0 ) .
A continuación, utilice la curvatura que se desvanece del campo eléctrico (que funciona en ausencia de campos magnéticos explícitamente variables en el tiempo) para escribir mi = − ∇ Φ y sustituya esto en la ecuación de Poisson para obtener
∇ 2 Φ = − q ϵ 0 d ( X − X 0 )
En otras palabras, queremos determinar Φ esa es una función de Green para la ecuación de Laplace. La solución general es
Φ = 1 4 π ϵ 0 q | X − X 0 | + F ( X )
dónde F es una función armónica, es decir, una que satisface la ecuación de Laplace. Si luego invocamos la condición de contorno de que el potencial se desvanece en el infinito, entonces esto fuerza F ser idénticamente cero, y obtenemos
Φ = 1 4 π ϵ 0 q | X − X 0 |
que, al tomar el gradiente, da el campo eléctrico de una carga puntual que es esencialmente el contenido de la Ley de Coulomb.

¿Cómo sigue exactamente, si puedo preguntar?
Vea el enlace que proporcionó Qmechanic.
Ese argumento se basa en la suposición que yo, quizás de manera engañosa, denominé "simetría esférica". Se debe afirmar que el campo eléctrico es radial para alcanzar la Ley de Coulomb. Lo que estoy tratando de determinar es: ¿es esto necesario? ¿No podemos quizás emplear el rizo, o apelar al teorema de unicidad, en lugar de tomar esto como un postulado adicional?
@ gj255 Según la ecuación de Poisson, los lados derechos e izquierdos de las ecuaciones que anoté son iguales, por lo que los lados derechos también son iguales. No se utiliza ninguna suposición acerca de que el campo eléctrico sea radial.
Sí, pero la igualdad de los lados derechos no es la Ley de Coulomb. Relaciona el flujo a través de una superficie con la carga encerrada. La expresión E = q/4pi r^2 no sigue inmediatamente (¿creo?).
@gj255 Dios mío, lo siento mucho; He estado leyendo "Ley de Coulomb" como "ley de Gauss"; Estén atentos para una edición.
Gracias Josh, creo que esto tiene mucho sentido para mí. En última instancia, no hay nada en las Ecuaciones de Maxwell que prohíba la presencia de, además de todos los campos eléctricos debidos a todas las cargas, un campo E uniforme constante en una dirección determinada en todo el Universo. Esto solo está prohibido por los BC. Una pregunta: ¿estás seguro de que necesitamos que el potencial desaparezca rápidamente ? Si requerimos que simplemente desaparezca, entonces dado que F = 0 da una solución válida, por el teorema de unicidad (Dirichlet) da la solución. ¿Sí No?
@ gj255 Estoy de acuerdo. En particular, creo que tiene razón sobre la condición de contorno; simplemente desaparecer en el infinito es suficiente. Fui perezoso y puse "suficientemente rápido" solo para cubrir mi ya-sabes-qué.
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