Cuándo usar qué representación para un campo eléctrico

En clase cubrimos tres tipos de posibilidades para evaluar el campo eléctrico para problemas estáticos. Desafortunadamente, la mayoría de los libros de texto de física cubren estas formas sin abordar la cuestión de la aplicabilidad cuando introducen estas ecuaciones debido a motivaciones históricas.

Una posibilidad es la ley de Gauss:

∫ ∂ V ⟨ mi , norte ⟩ d S = ∫ V ρ ε 0 d X
Esto sólo se puede utilizar, cuando mi si por consideración geométrica no depende de las variables de las que depende la integral de superficie (como en la simetría esférica, cuando no es una función de los ángulos, sino solo del radio), entonces se puede usar para determinar el campo eléctrico mediante una esfera cargada. Lo que podemos obtener entonces es un campo eléctrico en la superficie de algún volumen que contiene una carga particular.

Entonces nosotros tenemos:

mi ( X ) = 1 4 π ε 0 ∫ R 3 ρ ( X ′ ) ( X − X ′ ) | | X − X ′ | | 3 d X ′ .

Esto es más general en el sentido de que no requiere ninguna simetría o reducción de cargas dentro de algún volumen.

Y finalmente tenemos

Δ ϕ ( X ) = − ρ ( X ) ε 0 ,

que es la forma más general de pensar en problemas electrostáticos y contiene (asumiendo que la solución cumple con todas las condiciones de contorno) toda la información.

Espero que mi comprensión haya sido correcta hasta ahora. En ese caso, mi pregunta es: ¿Cómo distingo los problemas de valores en la frontera de los problemas en los que se aplican las dos primeras ecuaciones?

Muchos problemas son como: Dada una esfera con una distribución de carga particular, ¡calcule el campo alrededor! ¿Qué significa esto? ¿Significa esto que debo pensar en esto como una bola de cargas que se ensamblan en el vacío y el material que lo rodea también es vacío? Porque si asumo que se trata de una esfera metálica o una esfera hecha de algún material que es diferente del material (probablemente varcuum), entonces esto me daría una interfaz que significa que mis dos primeras ecuaciones ya no se aplican, como obtendría condiciones de contorno. (Estoy hablando ahora de esto en un sentido estrictamente teórico, tal vez me darían el resultado correcto, pero por las razones equivocadas). ¿O también se aplican estas dos ecuaciones, si la pelota es un aislante?

@ Mostafa probablemente, podrías ayudarme aquí. ya que estás bastante familiarizado con este tipo de cosas. Mi pregunta es: ¿A qué tipo de aplicaciones de la palabra real corresponden estas ecuaciones, cuando se quiere determinar el campo eléctrico?
La expresión del lado derecho en la segunda fórmula es para el potencial ϕ , no para campo eléctrico . En la tercera fórmula debe haber menos en un lado de la ecuación.
El diferencial en la derecha de la primera y segunda ecuaciones es d 3 X .
La primera y la tercera fórmula simplemente no son suficientes para encontrar el campo. El primero debe complementarse con la ecuación ∇ × mi = 0 y el tercero por mi = − ∇ ϕ . Después de eso, son equivalentes y aún deben complementarse con condiciones de contorno.
@JánLalinský ¿Cómo pueden ser todos equivalentes? Como señaló auxsvr, necesitamos, por ejemplo, para el segundo, que el campo caiga rápidamente.
@JánLalinský lo que tampoco veo es qué es este tipo de ejercicio: Dada una distribución de carga, ¡calcule el campo! ¿Requiere esto que la distribución de carga esté en el mismo medio que el medio ambiente?
El campo necesita caer rápidamente si las ecuaciones ∇ ⋅ mi = ρ / ϵ 0 , ∇ × mi = 0 deben tener solución única. Pero no es necesario que sea así para que se aplique la segunda fórmula.

Respuestas (2)

La ecuación de electrostática de aplicación más general es el campo de Coulomb de una carga puntual q en la posición X → ′ en el vacío,

mi → ( X → ) = 1 4 π ϵ 0 q ( X → − X → ′ ) | X → − X → ′ | 3 .
Esta es una ecuación derivada experimentalmente, si consideramos las cargas pequeñas como cargas puntuales. Su segunda ecuación se puede derivar de esto empleando el principio de superposición, por lo tanto, tenemos
mi → ( X → ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ D ρ ( X → ′ ) ( X → − X → ′ ) | X → − X → ′ | 3 d 3 X ′ ,
con D una región que incluye la distribución de carga bajo consideración. La integral converge si D es finito, ρ está acotado y el integrando se vuelve infinito como máximo una vez, según Kellogg, Fundamentos de la teoría potencial . En el caso de infinito D en general la integral no converge. Hay algunas distribuciones que le permiten converger, como el plano o alambre infinito, homogéneamente cargado; son muy simétricos.

De la integral de Coulomb, si converge, la ley integral de Gauss y ∇ → ⋅ X → − X → ′ | X → − X → ′ | 3 = 4 π d ( X → − X → ′ ) , obtenemos la ecuación diferencial de Gauss, una de las ecuaciones de Maxwell,

∇ → ⋅ mi → = ρ ϵ 0 .
Esta también es una ecuación general en cierto sentido, pero el teorema de Helmholtz establece que se deben cumplir ciertas condiciones (fuentes localizadas) para que mi → existir y ser definido únicamente por esta ecuación (aquí asumimos ∇ → × mi → = 0 , estamos haciendo electrostática). Las mismas condiciones implican la existencia del potencial de distribución, pero ∇ → × mi → = 0 es suficiente para deducir mi → = − ∇ → V sin ellos (es digno de mención que para un plano infinito homogéneamente cargado V diverge, pero la ecuación anterior produce el campo correcto a pesar de todo).

Otra forma de obtener el potencial de la distribución es resolver la ecuación de Poisson ∇ 2 V = − ρ / ϵ 0 con las condiciones de contorno apropiadas. Esto parece ser equivalente a la derivación anterior debido al teorema de Helmholtz (la condición del teorema de Hemholtz límite | X → | → ∞ V ( X → ) = 0 es Dirichlet BC para la ecuación de Poisson).

Otra forma de derivar la ley de Coulomb es comenzar con las ecuaciones de Maxwell y emplear el teorema de Helmholtz para fuentes localizadas, es decir, aquellas para las que el campo se desvanece más rápido que 1 / r como r va a ∞ . Esta derivación tiene la ventaja de que ambas integrales siempre convergen y la desventaja de que excluye las distribuciones de carga que se extienden a ∞ , que no son físicos pero se utilizan para extraer propiedades esenciales de geometrías más complicadas. Una solución para esta limitación es considerar una secuencia de distribuciones localizadas que tiende a una extensión infinita.

Finalmente, estas ecuaciones aún se aplican en presencia de un dieléctrico que no sea el vacío, pero se deben hacer las suposiciones adecuadas de antemano. Por ejemplo, si el dieléctrico es lineal, isotrópico y homogéneo, entonces D → = ϵ mi → y la ley de Coulomb se convierte en

mi → ( X → ) = 1 4 π ϵ q F ( X → − X → ′ ) | X → − X → ′ | 3 ,
La ecuación de Poisson se convierte en ∇ 2 V = − ρ F / ϵ , etc. Sin embargo, si ∇ → × PAG → ≠ 0 → , que es el caso en el límite entre diferentes dieléctricos (discontinuos ϵ ), entonces deben resolverse las ecuaciones de Maxwell en dieléctrico y no existe la ley de Coulomb para D → que cubre todo el espacio, que es otra razón por la que las ecuaciones de Maxwell se consideran fundamentales en su lugar. Otra forma de ver esto es que una carga dentro del dieléctrico induce una carga de polarización, lo que hace que el proceso no sea lineal, dependiendo del límite entre los dieléctricos, por lo tanto, el principio de superposición no se puede usar para encontrar D → en todo el espacio. Así, las ecuaciones más generales en presencia de dieléctrico son la ley de Gauss y la ecuación de Poisson.

Referencias generales: Griffiths, Electrodinámica , Zangwill, Electrodinámica moderna , Jackson, Electrodinámica clásica .

ese es un buen punto (la condición de Helmholtz) aunque no veo por qué la distribución tiene que ser acotada. Por ejemplo, una distribución de carga que se vería como ρ = A mi − λ r debería estar perfectamente bien con el segundo. Pero mi pregunta era más bien: si tiene la distribución de carga dentro de algún material y desea describir la distribución de carga afuera (en el vacío), ¿siempre obtiene la respuesta correcta?
Si no está localizada, la integral diverge. La exponencial cae más rápido que cualquier potencia, por lo tanto, satisface la condición. El comportamiento de su distribución como r → ∞ puede considerarse como la condición de frontera para la ecuación de Laplace. La ley de Gauss y la ecuación de Laplace son válidas pase lo que pase, según mi leal saber y entender. Puede haber algunas complejidades cuando se aplica dentro de la materia y en pequeñas escalas (ver microscópico Maxwell eq.). Además, el campo dentro de la materia se vuelve D → = ϵ 0 mi → + PAG → , por eso ∇ → ⋅ D → = ρ para materia isotrópica, lineal.
sí, y estas complejidades son exactamente lo que estoy buscando. Quiero decir, lo que definitivamente puede calcular generalmente a partir de 2 es el campo en los ejercicios que le piden que calcule el campo eléctrico a partir de una distribución de carga (suponiendo que esta caiga lo suficientemente rápido). Mi pregunta es: ¿A qué aplicación del mundo real pertenece esto? Porque, por lo que veo, ¿significa esto que queremos que las cargas y su entorno estén en el mismo medio o esto también se aplica si las cargas son de metal o madera y el entorno es vacío?
La ley de Gauss correcta en el asunto anterior es ∇ → ⋅ D → = ρ F . La suposición al integrar de acuerdo con el teorema de Helmholtz es que ϵ es constante en todas partes, por lo que podemos sacarla de la integral, por lo tanto, la segunda ecuación se aplica solo en tal caso. En general, ϵ es un tensor.
"La segunda ecuación es el resultado del teorema de Helmholtz para fuentes localizadas, es decir, aquellas para las que el campo va a 0 más rápido que 1/r" (he reemplazado ∞ por 0). No necesariamente. La segunda ecuación es una reescritura de la ley de Coulomb, que se encontró experimentalmente. Matemáticamente, es válido incluso para campos que no caen con la distancia en absoluto, por ejemplo, el campo de un plano infinito uniformemente cargado (constante) o el campo de un cable infinito (cae como 1/r).
@JánLalinský Gracias por la corrección de la expresión asintótica. La segunda integral converge cuando ρ está acotado, se vuelve infinito en un punto como máximo y el dominio de integración es finito (cf. Kellogg, Fundamentos de la teoría potencial ). Que converja para el caso de un plano infinito con densidad de carga homogénea es el resultado de la simetría del problema, porque una arbitraria σ ( X ′ , y ′ ) d ( z ′ ) no convergerá en general cuando el dominio es infinito. Es fácil ver que tales distribuciones conducen a resultados irregulares, ya que su potencial diverge.

Espero que mi comprensión haya sido correcta hasta ahora. En ese caso, mi pregunta es: ¿Cómo distingo los problemas de valores en la frontera de los problemas en los que se aplican las dos primeras ecuaciones?

En caso estático, todas esas fórmulas son válidas al mismo tiempo. Puedes usar el que quieras. Con base en la formulación del problema, elegiría lo que sea mejor para resolverlo.

Encontrará qué método es mejor para qué gradualmente haciendo ejercicios y problemas más difíciles en electrostática.

no, esto no puede ser cierto. para muchos problemas de valores en la frontera será imposible usar los dos primeros para determinar el campo eléctrico.
Imposible es una palabra fuerte. Muchas cosas se llamaron imposibles, pero finalmente se lograron. Mientras tanto, es mejor decir que algunas formulaciones son más adecuadas para algunos problemas. Si se pregunta si es posible resolver un problema concreto utilizando una formulación dada, puede plantearlo como una pregunta.
sí, pero quiero entender cuándo es posible y cuándo no. Si aún cree que puede resolver todos los problemas relacionados con un campo eléctrico en electrostática con todas las ecuaciones anteriores, puede explicar por qué. hasta ahora, no veo cómo puedes eliminar el problema de las condiciones de contorno en las dos primeras ecuaciones y, de hecho, no hablaste sobre este punto. Si cambió de opinión y piensa que generalmente no es posible, probablemente debería eliminar su respuesta.
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