¿Las Matemáticas siempre son correctas?

Las ciencias físicas se basan en pensar en hipótesis y probarlas con experimentos. Las conclusiones de las ciencias físicas siempre se escudriñan porque es el camino del método científico. Para que una teoría científica mejore, primero se descubre una deficiencia en la teoría, seguida de una hipótesis alterada, seguida de una nueva prueba.

Desafortunadamente, algunas personas ven este método como evidencia de que la ciencia a menudo está equivocada y no es confiable. Sin embargo, la ciencia es una metodología que implica refinamientos constantes de las hipótesis para obtener una imagen cada vez más clara de la verdad. Por lo tanto, la ciencia no está equivocada, pero las hipótesis que produce la ciencia tampoco son 100% correctas. Es la naturaleza del juego.

Sin embargo, las matemáticas son un juego completamente diferente. Las matemáticas funcionan desde los axiomas hacia arriba. Por lo tanto, las matemáticas no tienen que refinarse constantemente como lo hace la ciencia. Las matemáticas se basan en unos cimientos, conocidos como axiomas, a partir de los cuales se construye el resto de la materia. A diferencia de la ciencia, los axiomas de las matemáticas no cambian.

Se puede considerar que la ciencia trabaja en la dirección opuesta a la de las matemáticas. Es decir, determinar los principios a partir de los resultados, que es mucho más difícil que determinar los resultados a partir de los principios (matemáticas).

Lo único que debe asumir para ser incondicionalmente cierto en Matemáticas es una lógica mínima (y sí, eso es a pesar de tener sistemas axiomáticos para la lógica; todavía tiene que usar alguna forma de lógica para definir realmente esos sistemas axiomáticos). Pero se supone que la lógica es cierta en cualquier ciencia (porque sin ella no se puede sacar ninguna conclusión).

Pero aparte de la lógica, todos los enunciados en matemáticas son, en última instancia, enunciados condicionales sobre los axiomas elegidos. Por ejemplo, tome la declaración "hay infinitos números primos". ¿Cómo podemos saber que esto es realmente cierto? Bueno, tenemos una definición de los números naturales a través de un conjunto de axiomas, y tenemos una definición de lo que significa ser un número primo. De esos axiomas podemos derivar lógicamente que hay infinitos números primos. Pero esa declaración está implícitamente condicionada por los axiomas: Tenemos que suponerque lo que estamos viendo realmente cumple los axiomas de Peano. Si observamos algo que no es así, la afirmación no se sostiene. Sin embargo, las matemáticas no miran a un sistema específico. La afirmación de la que se deriva no es "para este objeto del mundo real tenemos infinitos números primos". Dice " siempre que tengamos algo que cumpla con esos axiomas, sabemos que encontraremos infinitos números primos". También te dice que si hacemos ciertas otras suposiciones (como que los axiomas de la teoría de conjuntos son válidos), podemos deducir que encontraremos algo que cumpla con esos axiomas.

Esta es también la razón por la cual las matemáticas son tan útiles en las ciencias naturales: no nos dicen qué supuestos son verdaderos. Pero nos dice lo que sigue si ciertas suposiciones son verdaderas (y también, si ciertas suposiciones no pueden mantenerse juntas). Entonces, si tenemos, por ejemplo, un fenómeno físico, podemos formular la hipótesis de que tiene ciertas propiedades. Esta hipótesis no es parte del mundo real, sino un conjunto de suposiciones. Por lo tanto, ahora podemos ir a las matemáticas, que nos dicen qué esperar de los sistemas con tales suposiciones (y también, qué suposiciones adicionales podríamos querer hacer). Tenga en cuenta que este paso es completamente independiente de la realidad. Después de que hayamos encontrado qué esperar si esas suposiciones son ciertas, entoncespodemos volver al laboratorio y verificar si nuestros experimentos muestran el comportamiento que acabamos de derivar de nuestras suposiciones. En caso afirmativo, tenemos una confirmación y podemos tener más confianza en nuestra hipótesis; de lo contrario, hemos falsificado nuestra hipótesis y tenemos que modificarla (y nuevamente, las matemáticas nos dirán qué suposiciones serán compatibles con nuestro nuevo conocimiento del experimento) .

Tenga en cuenta que hay otro tipo de teorías de cuestionamiento que se hace tanto en matemáticas como en ciencias naturales: a saber, el cuestionamiento de si sus resultados son realmente correctos. En matemáticas, esto significa verificar que no haya errores en la prueba (y en cierto sentido esto es similar a las pruebas experimentales de las teorías en las ciencias naturales: estamos seguros de una prueba si se ha examinado lo suficiente y nadie ha encontrado una respuesta). error), en física significa verificar que no haya error en el procedimiento de medición (es decir, realmente hemos medido lo que pensamos que medimos) y ningún error en la aplicación de las matemáticas (es decir, aplicamos correctamente las herramientas que obtuvimos de matemáticas y no hizo suposiciones ocultas, por lo que nuestras conclusiones acerca de qué esperar son correctas).

Las matemáticas se toman a menudo como una especie de camino hacia la verdad. Pero sus métodos no son tan simples como se cree popularmente.

Aunque los sistemas matemáticos a menudo se describen axiomáticamente, no es así como nacen estos sistemas. A menudo es su forma final, o más bien la forma en que se expresan para resaltar sus propiedades más importantes y hacer que parezca que son casi inevitables. Aunque esto es tanto psicológico para un cierto tipo de mente.

Un ejemplo es el cálculo: Arquímedes investigó la integración sintéticamente pero no pudo ponerla en un sistema axiomático formal como Euclides. Su desarrollo se estancó hasta que Newton/Leibniz utilizó la coordinación de la geometría para comenzar a realizar plenamente su capacidad. Por supuesto, se notó que estos 'fluzions' no eran completamente rigurosos, y las críticas de Berkeley a los 'fantasmas de cantidades que se fueron' dolieron. No fue hasta que Cauchy desarrolló la idea de un límite que las bases del cálculo comenzaron a ser puestas sobre una base rigurosa. Ahora hay una plétora de diferentes axiomáticas para el cálculo: Geometría Diferencial Sintética, Análisis No Estándar, Espacios Difeológicos. ¿Cuál de estos es el único marco axiomático verdadero y correcto?

De manera similar con la historia más conocida de la geometría euclidiana. El tejido del espacio-tiempo está mucho mejor modelado por la geometría lorentziana.

Se podría argumentar que los axiomas se derivan empíricamente, al comprender qué preguntas importantes se pueden formular en este tipo de lenguaje, pero seguramente la lógica sigue siendo a priori.

Nuevamente, esto no es tan simple. Tenemos la lógica clásica de la época de Aristóteles que afirmaba la ley del tercero excluido (pero señaló que esto no se aplicaba a eventos futuros), esto finalmente se formalizó como lógica booleana, pero Brouwer abogó por la lógica intuicionista que no (su supervisor le aconsejó que estableciera su reputación en algún área tradicional antes de defender puntos de vista tan sorprendentes). La gente ahora está investigando lógicas en las que la ley de la no contradicción no se cumple, en las que se tiene en cuenta el tiempo y la modalidad, etc.

La naturaleza de la verdad matemática no es simple. Tampoco ha demostrado ser siempre cierto. Hay mucho de cierto en lo que sostienen los constructivistas sociales, que la verdad matemática se construye socialmente, pero eso no quiere decir que sea únicamente eso, y que no tenga también alguna relación sofisticada con la realidad.

Esto es lo que dijo Felix Klein (fue un matemático famoso por formular el programa de Erlangen, entre otros):

Muy a menudo puede escuchar a los no matemáticos, especialmente a los filósofos, decir que las matemáticas solo necesitan sacar conclusiones de premisas claramente dadas y que es irrelevante si esas premisas son verdaderas o falsas, siempre que no se contradigan. Cualquiera que trabaje productivamente en matemáticas, sin embargo, hablará de una manera completamente diferente. De hecho, esas personas basan sus juicios en la forma cristalizada en que se presentan las teorías matemáticas una vez que han sido elaboradas. El científico investigador, como cualquier otro científico, no trabaja de manera estrictamente deductiva, sino que esencialmente hace uso de su imaginación y avanza de manera inductiva con la ayuda de ayudas heurísticas.

Creo que la respuesta a esta pregunta radica en la distinción: la ciencia se ocupa de fenómenos observables mientras que las matemáticas se ocupan de nociones abstractas como números , conjuntos o la naturaleza de la computabilidad .

Mientras que la ciencia se esfuerza por poder expresar el verdadero estado del universo, las matemáticas se esfuerzan por crear sistemas de pensamiento coherentes . Cuando uno habla de una teoría científica, se refiere a una explicación desarrollada y probada del mundo natural que puede producir predicciones falsables. Cuando uno habla de una teoría matemática, se refiere al estado actual de exploración de una de estas nociones abstractas. Un científico avanza en su campo probando hipótesis . Un matemático avanza en su campo demostrando teoremas .

Las matemáticas no pretenden ser la ley del universo, las matemáticas no pretenden ser nada en absoluto . Sucede que la ciencia utiliza las matemáticas con la esperanza de que el universo sea un sistema que pueda expresarse con coherencia porque si no, ¿cómo lo haríamos?

El método socrático : pregunte al interrogador qué quiere decir con sus palabras:

• ¿Qué quieres decir con "leyes"? Existen definiciones completas (matemáticas) de lo que es una "teoría" y lo que es una "fórmula", pero ¿qué es una "ley"? ¿Puedes notar la diferencia entre una "ley", un "axioma", un "teorema" y, digamos, una "definición"?

• ¿A qué te refieres con "cuestionado"? Cómo y por qué las "teorías/leyes/fórmulas" no matemáticas son más cuestionadas que las matemáticas.

Si da al menos respuestas parciales a estas preguntas, parece que vale la pena continuar con la charla.

Hay suposiciones contradictorias en matemáticas, que no se pueden resolver, ¡y está bien! La geometría euclidiana e hiperbólica se basan en diferentes conjuntos de axiomas, que no pueden ser verdaderos simultáneamente. Sin embargo, ambas geometrías son significativas y tienen aplicaciones en el mundo real.

Ahora, los matemáticos también se ocupan de las definiciones y, por supuesto, hay diferentes formas de definir lo mismo. Ahora, tomó un tiempo definir realmente cosas como límites, grupos, etc. y se han visto ligeramente diferentes a lo largo de la historia. Algunas cosas se vuelven considerablemente más agradables con una definición "mejor". Algunos prefieren usar $2\pi=\tau$ como LA constante circular en la que se basa todo, y muchas fórmulas se simplifican usando $\tau$ en lugar de $2\pi.$

Las matemáticas ciertamente pueden estar equivocadas en el sentido de que un matemático presenta un teorema erróneo con un error en su demostración, y pasa el escrutinio de sus pares y es comúnmente aceptado como verdadero.

Por supuesto, después de un tiempo se encontrará el error y se realizarán las correcciones necesarias. Cualquier teorema que siga las reglas desde el axioma es correcto. Puede no estar relacionado en absoluto con la física o el funcionamiento de nuestro universo, o puede estar relacionado y ser muy similar pero con importantes deficiencias, aun así, dentro de su propio marco es correcto siempre que no se hayan cometido errores (estúpidos) en el camino.

Ahora, un punto interesante es que algunas ramas de las matemáticas usan teoremas sin pruebas. Matemáticos famosos ofrecen una hipótesis con una prueba defectuosa, con falla conocida: la prueba cubre una gran parte de los casos, pero algunos quedan sin probar. Ahora, las matemáticas siguen construyendo sobre ese teorema, siempre con un pequeño descargo de responsabilidad "Suponiendo que el teorema de X sea correcto", y mientras tanto hay una carrera entre los entusiastas para producir una prueba completa o, alternativamente, refutar el dudoso teorema. En estos casos, las matemáticas pueden estar equivocadas, pero solo dentro del alcance del descargo de responsabilidad.

La respuesta más creíble que conozco la da Henri Poincaré en su "Ciencia e hipótesis":

Escribe sobre el razonamiento por recurrencia como ejemplo de un verdadero valor científico que es diferente de la tautología. Luego compara las matemáticas con la física en este aspecto:

No puede pasar desapercibido que aquí hay una sorprendente analogía con los procesos usuales de inducción. Pero existe una diferencia esencial. La inducción aplicada a las ciencias físicas es siempre incierta, porque se basa en la creencia en un orden general del universo, un orden que nos es externo. La inducción matemática, es decir, la prueba por recurrencia, se nos impone, por el contrario, necesariamente, porque no es más que la afirmación de una propiedad del espíritu mismo.

http://www.brocku.ca/MeadProject/Poincare/Poincare_1905_02.html

Las matemáticas solo pueden responder preguntas limitadas. Todas las matemáticas usan ecuaciones deterministas, no hay matemáticas no deterministas. Solo podemos resolver para 1 variable mientras mantenemos constantes otras variables. Así no es como funciona el mundo real. El clásico problema de los tres cuerpos en física es un ejemplo de esto. Otros ejemplos son la dinámica de flujo y el caos.

No, las matemáticas no siempre son correctas. Ha habido muchos teoremas y pruebas falsas. Por mencionar solo algunos:

En 1833, el año de su muerte, Adrien Marie Legendre presentó un resumen de las demostraciones del axioma de las paralelas a la Académie des Sciences francesa. Incluía seis demostraciones rigurosas, tres de las cuales utilizaban áreas angulares infinitas. Aquí "riguroso" debe entenderse en el significado de su tiempo como los matemáticos actuales usan "riguroso" en el significado de nuestro tiempo. Pero obviamente nunca puede haber un rigor absoluto, ni entonces ni hoy.

El teorema de Schröder-Bernstein se planteó repetidamente (y se declaró probado) entre 1882 [G. Cantor, carta a R. Dedekind (5 de noviembre de 1882)] y 1895 [Obras completas de Cantor, p. 285], pero nunca ha sido realmente probado por Cantor. Este teorema lleva el nombre de Ernst Schröder y Felix Bernstein, porque ambos lo demostraron. Sin embargo, Alwin Korselt descubrió una falla en la prueba de Schröder en 1902. Por desgracia, los Mathematische Annalen no publicaron la corrección antes de 1911. [A. Korselt: "Über einen Beweis des Äquivalenzsatzes", Matemáticas. Ana. 70 (1911) 294] No obstante, pasó algún tiempo hasta que esta corrección recibió atención pública. Ernst Zermelo señaló en su edición de las obras completas de Cantor en 1932: "El teorema [...] ha sido demostrado solo en 1896 por E. Schröder y 1897 por F. Bernstein. Desde entonces esto '

La teoría de conjuntos actual se considera el fundamento de las matemáticas. Como dijo Fraenkel: "Si el ataque al infinito (el infinito acabado de la teoría de conjuntos) tiene éxito... sólo quedarán restos de las matemáticas". Sin embargo, se puede demostrar que la teoría de conjuntos está en conflicto con las matemáticas. El ejemplo más simple: McDuck, que recibe diariamente 10 $ y gasta 1 dólar, se volverá infinitamente rico según el análisis, pero se arruinará según la teoría establecida.

Hay muchas más pruebas de que las matemáticas no son fiables. Pero estos pocos deberían ser suficientes.

Por supuesto, se puede decir que las matemáticas son solo el núcleo puro despojado de los errores y errores humanos. Pero, ¿cómo sabrías entonces cuál es este núcleo de las matemáticas, en particular con respecto a los resultados de Gödel?

En mi opinión (soy un estudiante de décimo grado en Turquía, pero también soy un nerd de las matemáticas), si estás mirando a través de los ojos de un matemático y ves un resultado correcto derivable de un conjunto de axiomas que hemos aceptado que no sugieren una paradoja. (Sí, soy consciente del teorema de incompletitud de Gödel). Eso sugiere que las matemáticas son lo más cercano que tenemos a la perfección.

La rigurosidad de los matemáticos no tiene paralelo en la comunidad científica. Los matemáticos siempre requieren pruebas para todas y cada una de las conjeturas. Algunas preguntas importantes como la conjetura de Goldbach y la hipótesis de Riemann tienen trillones de ejemplos y ningún contraejemplo y, sin embargo, los matemáticos no los aceptan como hechos sino como preguntas. En cualquier otra ciencia serían vistos como hechos, pero los matemáticos no los ven como hechos. (Esa es una de las razones por las que quiero ser matemático, no médico ni biólogo ni siquiera empresario).

Sin embargo, cuando consideras el mundo real, las cosas se complican. Incluso si todos los teoremas que ha utilizado y todos los cálculos que ha realizado son ciertos, es posible que sus resultados no sean ciertos porque el modelo que usó para describir el mundo era incorrecto, y créame, modelar el mundo es bastante difícil.

Por ejemplo, algunas de las leyes de Newton son incorrectas. (No son perfectos, para ser precisos, pero realmente buenos para el uso diario). Son incorrectos cuando miramos objetos lo suficientemente pequeños o lo suficientemente rápidos. Sin embargo, hacemos transbordadores espaciales y aviones de combate usándolos no porque sean perfectos, sino porque son una aproximación lo suficientemente buena.

Sin embargo, si está utilizando esas leyes para construir un GPS sin tener en cuenta la relatividad, fracasará. Mientras que algunos de los mejores sistemas de GPS miden el margen de error en milímetros, sin compensar por la relatividad tendrías kilómetros de margen de error.

Puede que me esté desviando un poco del tema aquí, pero lo diré de todos modos. Considere que la ciencia quiere cuantificar y hacer que las cosas sean lo más repetibles posible. Hacer que las cosas sean cuantificables y repetibles son formas perfectas de describir las matemáticas. No importa cómo te sientas hoy ni lo cerca que estés del horizonte de eventos de un agujero negro, si conectas un valor x a una ecuación obtendrás los mismos resultados, que es lo que los científicos necesitan para modelar el mundo.

Desde un punto de vista intuicionista, las matemáticas son una ciencia y evolucionan como cualquier otra ciencia. Pero como ciencia, lo que estudia la matemática no es lo que ingenuamente entendemos que es su dominio propio.

Los objetos de las matemáticas sobre los que los matemáticos prueban cosas no son el objeto científico de la disciplina, son sus experimentos y su tecnología. El tema es, en cambio, las intuiciones de los seres humanos. Las matemáticas determinan cómo esas intuiciones encajan o se enfrentan entre sí, y de qué manera se confirman nuestras ingenuas suposiciones naturales sobre cómo se combinarán. Probamos esas cosas en el proceso experimental de escribir pruebas.

Todos los experimentos pasados ​​de física siguen siendo experimentos de física, y todas las tecnologías que resultan de las aplicaciones de la física pasada también siguen siendo válidas, incluso cuando se modifica la física en la que se basaron originalmente. Del mismo modo, todas las pruebas y técnicas de las matemáticas pasadas siguen siendo pruebas y técnicas de las matemáticas. Lo que cambia y se refina al mismo ritmo que se desarrollan las leyes de la física es la selección de qué áreas de las matemáticas son interesantes o aplicables a otras ciencias.

En esa capacidad, las matemáticas son realmente una rama de la psicología. Estudia qué intuiciones se evocan fácilmente en diferentes combinaciones en una amplia gama de humanos y, por lo tanto, están disponibles para usar en explicaciones abstractas. Podemos estar equivocados sobre lo que tendrá sentido elaborar, o lo que tendrá aplicaciones para nuestras otras estructuras mentales, en comparación con lo que tomará demasiadas formas o será simplemente una elaboración sin sentido, incluso si las matemáticas en sí nunca son "correctas" o "incorrectas". ', sino simplemente 'allí'.

Como se señaló en otra respuesta aquí, es bastante razonable considerar todas las matemáticas como ficticias y, por lo tanto, falsas, pero internamente consistentes. Y no pierde nada de su valor si este es el caso. Porque no se trata, en el fondo, de la verdad. Se trata de la concebibilidad: de lo que potencialmente puede tener sentido para una mente humana, y qué ideas solo parecen ser utilizables, pero cuando se las presiona, finalmente no se mantienen unidas.

Los teoremas siempre se pueden derivar de axiomas que suponemos que son correctos. No hay axiomas "correctos". Puede seleccionar cualquier cosa que desee, pero no deben contradecirse a sí mismos ni a otros axiomas. Si tiene un conjunto particularmente bueno de axiomas, es posible que ni siquiera tenga contradicciones, pero eso es imposible de probar. Por lo tanto, las matemáticas son la herramienta más confiable que los humanos hayan producido. (Sí, incluso más confiable que un AK-47 o un HK MK23).

Lo que hacen los matemáticos es crear un mundo idealizado donde las únicas fuerzas que afectan a la pelota que has lanzado son la fuerza que has aplicado y la fuerza de la gravedad. Siempre sigue un camino idealizado. Sí, puede perder algo de precisión, pero es lo suficientemente bueno para todos los propósitos prácticos. Si necesitas más precisión también puedes considerar la resistencia del aire, el movimiento de la tierra, etc.

Aquí hay mucho entusiasmo vertiginoso y con los ojos muy abiertos por las matemáticas. Sería más apropiado describir las matemáticas como pensamientos formalmente sistematizados, como un lenguaje. Godel y el fracaso del programa Hilbert demostraron que las matemáticas no son una escalera a la vista de un dios, sino un punto flotante, que define arriba y abajo, y como Hofstader describió el bucle: https://absoluteirony.wordpress.com/2014/09 /17/nagarjuna-nietzsche-rorty-y-su-extraño-truco-en-bucle/

Las matemáticas nunca pueden eludir https://en.m.wikipedia.org/wiki/Münchhausen_trilemma ¿De dónde vienen los axiomas y cómo sabes que son correctos? Sólo por el interesante comportamiento del sistema resultante. El pequeño y sucio secreto de las matemáticas.

Las matemáticas están completamente equivocadas; y para demostrar que primero debemos definir incorrecto o falso. La verdad debe definirse de la siguiente manera: (a) Las leyes de la naturaleza son las únicas verdades (b) estas leyes son creadas por los objetos de la naturaleza y por sus características (c) La naturaleza siempre demuestra su verdad.

Considere una declaración matemática simple (M1) 1+2=3. Todo el mundo entenderá M1, una naranja y dos manzanas nos dan tres frutas. Pero es un uso completamente erróneo de las matemáticas por varias razones. Los números 1, 2, 3 son puntos en la recta real; no pueden ser manzanas y naranjas. Los puntos no son objetos de la naturaleza. Por lo tanto los números reales son falsos. También estos puntos se definen como puntos sobre una línea recta, llamada línea real. Pero no existe una línea recta en la naturaleza, porque todos los objetos del universo se mueven continuamente. Por lo tanto, la definición fundamental, la línea recta, los puntos, etc., son todos falsos y no existen en la naturaleza. Por lo tanto, tales matemáticas nunca pueden funcionar para la naturaleza y la ingeniería. Hay muchos ejemplos que prueban que las matemáticas no pueden funcionar en la naturaleza. Eche un vistazo al capítulo uno sobre la verdad en el libro gratuito sobre la teoría del alma enhttps://theoryofsouls.wordpress.com/