La varianza de dominancia en un solo locus

Question

La varianza de dominancia en un solo locus

Biología
genética
bioestadística
genética de poblaciones
genética-cuantitativa

Demonio

Estaba leyendo el libro "Genética y análisis de rasgos cuantitativos", de Lynch y Walsh. I cómo la covarianza entre dos individuos con EII $\Theta$ se divide solo en la varianza aditiva y el componente de varianza de dominancia, incluso en el simple $1$ caso de locus.

Aquí mi comprensión del modelado (para el caso simple de un alelo):

Dado un valor genotípico $G_{i,j}$ de media $0$ , $i,j \in \{0,1\}$ encontramos numeros $\alpha_0$ y $\alpha_1$ minimizando los mínimos cuadrados de la siguiente forma $\mathbb{E}(G_{i,j}-\alpha_i-\alpha_j)^2$ , donde la expectativa está sobre la población.

A continuación definimos los términos de error en cada caso como $\delta_{i,j}=G_{i,j}-\alpha_i-\alpha_j$ . De las propiedades, vistas como funciones de la población $\alpha_i$ es independiente de $\delta_{i,j}$ , y ambos tienen media $0$ .

La afirmación que se hace en el libro es que dados dos individuos, con EII $\Theta$ y probabilidad de que el genotipo sea igual $\Delta$ , la covarianza de los genotipos $G_{i,j}$ y $G_{k,l}$ es dado por,

cov ({GRAMO}_{i, j}, {GRAMO}_{k, yo}) = 2 Θ σ_{A}^{2} + Δ σ_{D}^{2},

$\text{cov}(G_{i,j},G_{k,l}) = 2\Theta \sigma_A^2 +\Delta \sigma_D^2,$

dónde $\sigma_A^2= \text{Var}(\alpha_i)$ , y $\sigma_D^2 = \text{Var}(\delta_{i,j})$ .

Expandiendo la LHS de la expresión, mostrando que $\mathbb{E}[(\alpha_i +\alpha_j)(\alpha_k+\alpha_l)] =\Theta \sigma_A^2$ es bastante fácil También parece seguirse de que los términos $\mathbb{E}[(\alpha_i +\alpha_j)\delta_{k,l}]=0$ de la independencia de los errores de la $\alpha$ .

Al analizar $\mathbb{E}[\delta_{i,j}\delta_{k,l}]$ , vemos que si ambos genotipos son iguales, lo que ocurre con probabilidad $\Delta$ , entonces esto se reduce a $\sigma_D^2$ . Esto nos da un término $\Theta \sigma_D^2$ . Además, si ambos $i,j$ y $k,l$ no son EII entonces la covarianza es $0$ . Sin embargo, cuando uno de los dos alelos es IBD, entonces no me queda claro que esta covarianza seguirá siendo $0$ .

El libro parece afirmar que, a menos que ambos alelos sean EII, $\delta_{i,j}$ y $\delta_{k,l}$ son independientes No veo por qué este es el caso. ¿Me estoy perdiendo algo aquí? Agradecería cualquier ayuda con esto.

Demonio

@rg255: Es el capítulo 7 en la página 143-144. Ellos manejan el caso de múltiples alelos, pero aquí lo estaba simplificando al caso de un solo alelo.

Respuestas (1)

La varianza de dominancia en un solo locus

@rg255: Es el capítulo 7 en la página 143-144. Ellos manejan el caso de múltiples alelos, pero aquí lo estaba simplificando al caso de un solo alelo.

Demonio · Answer 1

Parece que pude resolver la pregunta. Mi entendimiento es el siguiente.

Dejar $(X_1,Y_1)$ , $(X_2,Y_2)$ (corresponde a $i,j$ y $k,l$ en la pregunta) sean los genotipos de dos individuos en algún lugar. Suponemos que ninguno de los individuos es consanguíneo. En este caso definir,

\begin{aligned} Δ_{7} & = PR (Ambos alelos {X_{1}, Y_{1}} y {X_{2}, Y_{2}} son EII), \\ Δ_{8} & = PR (Exactamente un par de alelos de los cuatro pares es IBD), \\ Δ_{9} & = PR (No hay EII entre los dos individuos.) . \end{aligned}

$\begin{align*} \Delta_7&= \text{Pr}(\text{Both alleles $\{X_1,Y_1\}$ and $\{X_2, Y_2\}$ are IBD}),\\ \Delta_8&= \text{Pr}(\text{Exactly one allele pair of the four pairs is IBD}),\\ \Delta_9&= \text{Pr}(\text{ No IBD between the two individuals}). \end{align*}$

Δ_{7}

$\Delta_7$ ,

Δ_{8}

$\Delta_8$ y

Δ_{9}

$\Delta_9$ se calculan a partir de los pedigríes. Por ejemplo, para hermanos no gemelos,

Δ_{7} = \frac{1}{4}

$\Delta_7 = \frac{1}{4}$ ,

Δ_{8} = \frac{1}{2}

$\Delta_8=\frac{1}{2}$ ,

Δ_{9} = \frac{1}{4}

$\Delta_9 =\frac{1}{4}$ .

Observamos que el coeficiente IBD (también llamado coeficiente de parentesco) $\Theta$ es

\begin{aligned} Θ = \frac{1}{2} Δ_{7} + \frac{1}{4} Δ_{8} . \end{aligned}

$\begin{align*} \Theta = \frac{1}{2} \Delta_7 + \frac{1}{4} \Delta_8. \end{align*}$ También el coeficiente de fraternidad,

Δ = Δ_{7}

$\Delta =\Delta_7$ . Así tenemos que la covarianza entre el valor genotípico de dos individuos está dada por

\begin{aligned} mi [GRAMO (X_{1}, Y_{1}) GRAMO (X_{2}, Y_{2})] = & Δ_{7} mi [GRAMO (X_{1}, Y_{1}) GRAMO (X_{2}, Y_{2}) | ambas EII] + \\ Δ_{8} mi [GRAMO (X_{1}, Y_{1}) GRAMO (X_{2}, Y_{2}) | una EII] + Δ_{9} mi [GRAMO (X_{1}, Y_{1}) GRAMO (X_{2}, Y_{2}) | sin EII] . \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[G(X_1,Y_1)G(X_2,Y_2)] =& \Delta_7 \mathbb{E}[G(X_1,Y_1)G(X_2,Y_2)| \text{both IBD}] + \\ &\Delta_8 \mathbb{E}[G(X_1,Y_1)G(X_2,Y_2)| \text{one IBD}] + \Delta_9 \mathbb{E}[G(X_1,Y_1)G(X_2,Y_2)| \text{no IBD}]. \end{align*}$

Tenga en cuenta además que,

\begin{aligned} mi [GRAMO (X_{1}, Y_{1}) GRAMO (X_{2}, Y_{2}) | ambas EII] & = mi [{GRAMO}^{2} (X_{1}, Y_{1})], \\ = σ_{A}^{2} + σ_{D}^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[G(X_1,Y_1)G(X_2,Y_2)| \text{both IBD}] &= \mathbb{E}[G^2(X_1,Y_1)],\\ &= \sigma_A^2 +\sigma_D^2. \end{align*}$

\begin{aligned} mi [GRAMO (X_{1}, Y_{1}) GRAMO (X_{2}, Y_{2}) | sin EII] & = mi [GRAMO (X_{1}, Y_{1})] mi [GRAMO (X_{2}, Y_{2})], \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[G(X_1,Y_1)G(X_2,Y_2)| \text{no IBD}] &= \mathbb{E}[G(X_1,Y_1)] \mathbb{E}[G(X_2,Y_2)],\\ &=0. \end{align*}$

\begin{aligned} mi [GRAMO (X_{1}, Y_{1}) GRAMO (X_{2}, Y_{2}) | una EII] & = mi [(α (X) + α (Y_{1}) + d (X, Y_{1})) (α (X) + α (Y_{2}) + d (X, Y_{2}))], \\ = mi [α^{2} (X)] + 2 mi (α (X) d (X, Y_{1})) + mi [d (X, Y_{1}) d (X, Y_{2})], \\ = \frac{1}{2} σ_{A}^{2} + 2 mi [α (X) mi [d (X, Y_{1}) | X]] + mi [mi [d (X, Y_{1}) | X] mi [d (X, Y_{2}) | X]], \\ = \frac{1}{2} σ_{A}^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[G(X_1,Y_1)G(X_2,Y_2)| \text{one IBD}] &= \mathbb{E}[(\alpha(X)+\alpha(Y_1)+\delta(X,Y_1))(\alpha(X)+\alpha(Y_2)+\delta(X,Y_2))],\\ &=\mathbb{E}[\alpha^2(X)] + 2 \mathbb{E}(\alpha(X) \delta(X,Y_1)) + \mathbb{E} [\delta(X,Y_1)\delta(X,Y_2)],\\ &= \frac{1}{2} \sigma_A^2 + 2 \mathbb{E} [ \alpha(X) \mathbb{E}[\delta(X,Y_1) | X] ] + \mathbb{E} [\mathbb{E}[\delta(X,Y_1)|X]\mathbb{E}[\delta(X,Y_2)|X]],\\ &= \frac{1}{2} \sigma_A^2. \end{align*}$

Así tenemos eso,

\begin{aligned} mi [GRAMO (X_{1}, Y_{1}) GRAMO (X_{2}, Y_{2})] = & (\frac{1}{2} Δ_{7} + \frac{1}{4} Δ_{8}) 2 σ_{A}^{2} + Δ_{7} σ_{D}^{2}, \\ = 2 Θ σ_{A}^{2} + Δ σ_{D}^{2}, \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[G(X_1,Y_1)G(X_2,Y_2)] =& \left(\frac{1}{2}\Delta_7 + \frac{1}{4}\Delta_8\right) 2 \sigma_A^2 + \Delta_7 \sigma_D^2,\\ &= 2\Theta \sigma_A^2 + \Delta \sigma_D^2, \end{align*}$ que es como se afirma.

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