¿La variación del Lagrangiano satisface la regla del producto y la regla de la cadena de la derivada?

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derivados funcionales

linuxfreebird

He visto a wikipedia usar la regla del producto y tal vez la regla de la cadena para la variación de Langragin de la siguiente manera:

\begin{aligned} \frac{d [F (gramo (X, \dot{X})) h (X, \dot{X})]}{d X} = (\frac{d [F (gramo)]}{d gramo} \frac{d [gramo (X, \dot{X})]}{d X}) h (X, \dot{X}) + F (gramo (X, \dot{X})) \frac{d [h (X, \dot{X})]}{d X} \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\delta [f(g(x,\dot{x}))h(x,\dot{x})] } {\delta x} = \left( \dfrac{\delta [f(g)] } {\delta g} \dfrac{\delta [g(x,\dot{x})] } {\delta x} \right) h(x,\dot{x}) + f(g(x,\dot{x})) \dfrac{\delta [h(x,\dot{x})] } {\delta x} \end{align}$ donde se define la variación del Lagrangiano

\begin{aligned} \frac{d L}{d X} = \frac{\partial L}{\partial X} - \frac{d}{d τ} \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\delta \mathcal{L} } {\delta x} = \dfrac{\partial \mathcal{L} } {\partial x} - \dfrac{d}{d \tau} \dfrac{\partial \mathcal{L} } {\partial \dot{x}} \end{align}$ y

L = f (g (x, \dot{x})) h (x, \dot{x})

$\mathcal{L}=f(g(x,\dot{x}))h(x,\dot{x})$ .

¿La variación del Lagrangiano satisface la regla del producto y la regla de la cadena de la derivada?

kyle kanos

Típicamente es la acción,

S = \int d t L

$S=\int\,dt\,\mathcal L$ , que es variada y tienes que usar la integración por partes para probar tu segunda fórmula.

Respuestas (3)

qmecanico

OP considera la derivada funcional 'al mismo tiempo' (FD)
$\begin{matrix} (1) & \frac{d F (t)}{d X (t)} := \frac{\partial F (t)}{\partial X (t)} - \frac{d}{d t} \frac{\partial F (t)}{\partial \dot{X} (t)} + \dots . \end{matrix}$ $\tag{1} \frac{\delta f(t)}{\delta x(t)}~:=~\frac{\partial f(t)}{\partial x(t)} - \frac{d}{dt} \frac{\partial f(t)}{\partial \dot{x}(t)} +\ldots.$ Aquí $f(t)$ es la abreviatura de la función $f(x(t), \dot{x}(t), \ldots;t)$ . Aunque el FD 'al mismo tiempo' (1) puede ser notablemente útil, tiene varias falacias, cf. mi respuesta Phys.SE aquí .
La regla de Leibniz
$\begin{matrix} (2) & \frac{d (F (t) gramo (t))}{d X (t)} = \frac{d F (t)}{d X (t)} gramo (t) + F (t) \frac{d gramo (t)}{d X (t)} (\leftarrow ¡Equivocado!) \end{matrix}$ $\tag{2} \frac{\delta (f(t)g(t))}{\delta x(t)} ~=~\frac{\delta f(t)}{\delta x(t)} g(t) +f(t)\frac{\delta g(t)}{\delta x(t)}\qquad(\leftarrow \text{Wrong!})$ para el FD 'al mismo tiempo' (1) no se cumple. Contraejemplo: Tomar $f(t)=g(t)=\dot{x}(t)$ .
la regla de la cadena
$\begin{matrix} (3) & \frac{d F (t)}{d X (t)} = \frac{d F (t)}{d y (t)} \frac{d y (t)}{d X (t)} (\leftarrow ¡Equivocado!) \end{matrix}$ $\tag{3} \frac{\delta f(t)}{\delta x(t)} ~=~\frac{\delta f(t)}{\delta y(t)}\frac{\delta y(t)}{\delta x(t)}\qquad\qquad(\leftarrow \text{Wrong!})$ para el FD 'al mismo tiempo' (1) no se cumple. Contraejemplo: Tomar $f(t)=y(t)^2$ y $y(t)=\dot{x}(t)$ .
Sin embargo, el FD habitual $\frac{\delta F}{\delta x(t)}$ (dónde $F[x]$ es un funcional) cumple una regla de Leibniz
$\begin{matrix} (4) & \frac{d (F GRAMO)}{d X (t)} = \frac{d F}{d X (t)} GRAMO + F \frac{d GRAMO}{d X (t)}, \end{matrix}$ $\tag{4} \frac{\delta (FG)}{\delta x(t)} ~=~\frac{\delta F}{\delta x(t)} G +F\frac{\delta G}{\delta x(t)},$ y una regla de la cadena $\begin{matrix} (5) & \frac{d F}{d X (t)} = \int d t^{'} \frac{d F}{d y (t^{'})} \frac{d y (t^{'})}{d X (t)} . \end{matrix}$ $\tag{5} \frac{\delta F}{\delta x(t)}~=~ \int dt^{\prime} ~\frac{\delta F}{\delta y(t^{\prime})}\frac{\delta y(t^{\prime})}{\delta x(t)}.$

danu

Buenos puntos, +1. Debería haber mencionado que esta definición (poco ortodoxa) no funciona.

steven mateo

En general, los derivados funcionales obedecen reglas de cadena y de producto. Si el concepto te preocupa, siempre puedes pensar en una función como un vector con una infinidad de coordenadas. Entonces una derivada funcional es solo una derivada parcial.

Si $F[h]$ es un funcional de la función $h(x)$ . Puedes pensar en esto como

h \to \vec{h} = (h (X_{1}), h (X_{2}), . . ., h (X_{norte})) \equiv (h_{1}, h_{2}, . . ., h_{norte}),

$h \to \vec{h} = \left(h(x_1), h(x_2), ..., h(x_n)\right) \equiv \left(h_1, h_2, ..., h_n\right)\, ,$

y

F [h] \to F (h_{1}, h_{2}, . . ., h_{norte}) .

$F[h] \to F\left(h_1, h_2, ..., h_n\right) \, .$

El conjunto de $x_i$ es infinitamente grande y cubre todos los valores de $x$ . Entonces la analogía para las derivadas funcionales es

\frac{d F}{d h (X)} \to \frac{\partial F}{\partial h_{i}} .

$\frac{\delta F}{\delta h(x)} \to \frac{\partial F}{\partial h_i} \, .$

$i$ se elige tal que $x_i = x$ .

Esta analogía funciona bien, pero ¡cuidado con las dimensiones! La definición de una derivada funcional es ( $\delta(x-x')$ es la distribución delta),

\frac{d F}{d h (X)} \equiv \underset{ϵ \to 0}{límite} \frac{F [h (X) + ϵ d (X - X^{'})] - F [h]}{ϵ} .

$\frac{\delta F}{\delta h(x)} \equiv \lim_{\epsilon \to 0} \frac{F[h(x)+\epsilon \delta(x-x')]-F[h]}{\epsilon} \, .$

Esto no tiene la misma dimensión que lo que cabría esperar de la analogía,

\frac{\partial F}{\partial h_{i}} \equiv \underset{d h \to 0}{límite} \frac{F (h_{1}, . . ., h_{i} + d h, . . ., h_{norte})}{d h},

$\frac{\partial F}{\partial h_i} \equiv \lim_{\delta h \to 0}\frac{F(h_1,...,h_i+\delta h,...,h_n)}{\delta h} \, ,$

porque la función delta, así como $\epsilon$ llevar una dimensión.

Tenga en cuenta que lo que llama definición para la derivada funcional

\frac{d F}{d h (X)} = \frac{\partial F}{\partial h} - \frac{d}{d t} \frac{\partial F}{\partial \dot{h}},

$\frac{\delta F}{\delta h(x)} = \frac{\partial F}{\partial h} - \frac{\text{d}}{\text{d}t} \frac{\partial F}{\partial \dot{h}}\, ,$

solo se aplica al Lagrangiano y es una propiedad de la mecánica clásica.

danu

Sí. Aquí, estamos tratando con derivadas funcionales y estas satisfacen la regla de la cadena y la regla del producto, lo cual es realmente una razón importante por la que puede llamarse derivada para empezar.

Nota importante: la definición que das para la derivada funcional no es la estándar y no satisface sus propiedades habituales (como se muestra en Qmechanic).

linuxfreebird

Me encantaría ver esa prueba. Soy muy curioso.

danu

@linuxfreebird No creo que deba ser demasiado difícil comenzar con la definición dada en el artículo wiki que vinculé. Alternativamente, puede intentar obtener una copia del libro de Parr & Young que cita wikipedia.

¿La variación del Lagrangiano satisface la regla del producto y la regla de la cadena de la derivada?

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