Obtener una respuesta incorrecta para un problema que involucra funciones de transferencia y transformadas de Laplace

Necesito ayuda para encontrar dónde cometí el error en este problema planteado por mi profesor de sistemas de control.

La pregunta: la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo para una entrada$r(t)$es igual$c(t)$. Si la señal de entrada se pasa a través de un bloque con función de transferencia$e^{-s}$, y luego aplicado al sistema, ¿cuál será la salida,$y(t)$, ¿ser?

La respuesta debería ser$y(t) = c(t) \cdot u(t-1)$pero lo consigo$y(t) = u(t) \cdot c(t-1).$

Mi trabajo:

Función de transferencia uno,$H_1(s)$, se aplica al sistema original. función de transferencia dos,$H_2(s)$, se aplica al sistema que incluye el nuevo bloque:

$$H_1(s) = \frac{C(s)}{R(s)}$$

$$H_2(s) = e^{-s} \cdot H_1(s) = \frac{e^{-s} \cdot C(s)}{R(s)} = \frac{Y(s)}{R(s)}$$

Por lo tanto$Y(s) = e^{-s} \cdot C(s)$,

$y(t)$es la transformada inversa de Laplace de$Y(s)$:

$$y(t) = u(t) \cdot c(t-1)$$