La transformación de calibre "grande" no actúa como una transformación sin hacer nada en QFT: buscando un analógico clásico

Question

La transformación de calibre "grande" no actúa como una transformación sin hacer nada en QFT: buscando un analógico clásico

Física
topología
teoría de calibre
invariancia de calibre
teoría cuántica de campos

Nombre AAAA

La simetría de calibre en la teoría clásica pura de Yang-Mills con un campo de calibre $A_{\mu}$ requiere una acción $S$ ser invariante bajo transformaciones continuas

A_{m} (gramo) \to gramo (A_{m} + i \partial_{m}) {gramo}^{- 1}

$A_{\mu}(g) \to g(A_{\mu} + i\partial_{\mu})g^{-1}$ Cuando hablamos de teoría cuantizada, estamos tratando con el espacio de rayos de Hilbert

| Ψ (A_{μ}) ⟩

$|\Psi (A_{\mu})\rangle$ , que debe ser invariante bajo transformación unitaria

U (g)

$U(g)$ :

\begin{matrix} (0) & | Ψ (A_{m}) ⟩ \to tu (gramo) | Ψ (A_{m}) ⟩ = | Ψ (A_{m}) ⟩ \end{matrix}

$\tag 0 |\Psi(A_{\mu})\rangle \to U(g)|\Psi (A_{\mu})\rangle = |\Psi(A_{\mu})\rangle$ De manera equivalente, para transformación infinitesimal con generador

G (x)

$G(x)$ uno tiene que exigir

GRAMO (X) | Ψ (A_{m}) ⟩ = 0

$G(x)|\Psi (A_{\mu})\rangle = 0$ Esto reduce el espacio de Hilbert proyectándolo en un espacio con solo polarizaciones de campo de calibre físico. Es por eso que la simetría de calibre se llama transformación de no hacer nada.

A continuación, suponga la transformación de calibre "grande" cuyo elemento $g_{(n)}$ lleva un número de bobinado distinto de cero $n$ . Tenemos eso para el estado de vacío en la configuración del número de devanado cero $|0\rangle$

\begin{matrix} (1) & tu ({gramo}_{(norte)}) | 0 ⟩ = | norte ⟩ \end{matrix}

$\tag 1 U(g_{(n)})|0\rangle = |n\rangle$ Uno puede introducir un

θ

$\theta$ -vacío definido como

| θ ⟩ = \sum_{norte} {mi}^{i norte θ} | norte ⟩,

$|\theta\rangle =\sum_{n}e^{in\theta}|n\rangle,$ entonces

\begin{matrix} (2) & tu ({gramo}_{(norte)}) | θ ⟩ = {mi}^{i norte θ} | θ ⟩ \end{matrix}

$\tag 2 U(g_{(n)})|\theta\rangle = e^{in\theta}|\theta\rangle$ Entonces tenemos que las transformaciones de calibre "grande" no son transformaciones sin hacer nada; además, incluso después de introducir la nueva aspiradora, ¡todavía actúa de manera no trivial!

Mis preguntas son:

$(0)$ corresponde a la invariancia de la acción de la teoría de calibre clásica bajo transformaciones de calibre locales. a lo que corresponde $(1)$ ? Ingenuamente, creo que las transformaciones de calibre grandes cambian el tensor de intensidad de campo de calibre, pero me gustaría formalizar esto.
Finalmente, si un análogo clásico de $(2)$ existe? ¿Esta correspondencia está completamente determinada por la topología clásica de los campos de norma?

Respuestas (2)

La transformación de calibre "grande" no actúa como una transformación sin hacer nada en QFT: buscando un analógico clásico

una mente curiosa · Answer 1

Que las transformaciones de calibre grandes no sean verdaderas transformaciones de calibre (es decir, produzcan estados físicamente distintos) es un fenómeno puramente cuántico debido a una elección del procedimiento de cuantificación que está presente en los casos en que hay transformaciones de calibre grandes. Clásicamente, las transformaciones de calibre grandes son siempre transformaciones de calibre, es decir, triviales en el espacio de estado físico. Ver también esta respuesta de David Bar Moshe .

Esencialmente, el estatus especial de las transformaciones de calibre grandes surge del hecho de que el procedimiento de cuantificación para una teoría de calibre solo impone que la aplicación de los generadores de transformaciones de calibre a los estados físicos debe producir cero y, por lo tanto, los estados físicos son invariantes bajo las transformaciones de calibre generadas por ellos. . Pero, más bien, por definición, las transformaciones generadas por los generadores solo producen las transformaciones de calibre conectadas a la identidad (el mapa exponencial de un álgebra de Lie se asigna a los componentes conectados del grupo correspondiente). Por lo tanto, el procedimiento de cuantización por diseño solo impone la invariancia de la teoría cuántica bajo transformaciones de calibre pequeño.

No hay una buena razón para exigir que la teoría cuántica sea invariante bajo transformaciones de gran calibre porque es bien sabido que el mismo sistema clásico puede tener diferentes cuantificaciones no equivalentes, y las transformaciones de gran calibre simplemente se convierten en las transformaciones entre estas cuantificaciones no equivalentes, lo que parece físicamente razonable: dada una teoría clásica, su teoría cuántica completa debería ser la "suma" de todas las cuantizaciones posibles.

¿Puede especificar o dar una referencia de cómo "las transformaciones de gran calibre simplemente se convierten en transformaciones entre estas cuantificaciones no equivalentes"? Además, para los grupos de calibre habituales (SU(2), SU(3)), ¿cómo puede haber elementos que no estén conectados a la identidad? Por ejemplo, SU(2) es la de tres esferas $S^3$ y por lo tanto está lejos de ser obvio cómo un punto en esta esfera no podría estar conectado con el elemento de identidad...
@JakobH Vea el artículo de Landsman vinculado en la respuesta de David Bar Moshe. El grupo del que estoy hablando aquí no es el grupo de calibre, sino el grupo de transformaciones de calibre , que es un grupo de dimensión infinita que no puede estar conectado incluso si el grupo de calibre lo está.

Zumbido · Answer 2

Zumbido

Algunos de los documentos originales sobre $\theta$ vacua ya señaló que no tienen análogos clásicos. Los procesos físicos que describe la mezcla al vacío son túneles puros, y los túneles a través de una barrera no existen en la dinámica clásica.

Nombre AAAA

La interpretación del túnel es solo uno de los argumentos que aclaran la importancia de

θ

$\theta$ -vacío en teorías gauge puras desde el punto de vista físico. Se puede argumentar esto de otra manera, al requerir que el rayo de estado no cambie al actuar sobre él un operador de transformación de calibre grande (hasta una fase, que es el origen de mi pregunta). Pero al hacer esto, operamos solo con la topología de campo de calibre, que es clásica. Y por lo tanto puede haber un análogo clásico de esta variación. Por ejemplo, deformación suave de calibre puro perteneciente a una clase

n

$n$ al que pertenece

m

$m$ .

Zumbido

@NameYYY El hecho de que pueda haber una diferencia de fase residual entre el estado original y el transformado es intrínsecamente mecánico cuántico.

Nombre AAAA

Pero, ¿qué dice acerca de la simetría de calibre como simetría de "no hacer nada"? ¿Y qué pasa con mi primera pregunta (sobre el análogo clásico explícito de la varianza de calibre en

(1)

$(1)$ )?

Zumbido

@NameYYY Bueno, la idea de su primera pregunta de que las transformaciones de gran calibre cambian la intensidad del campo no es correcta. ellos no; de lo contrario, no serían transformaciones de calibre puras. Más allá de eso, no hay nada que decir, porque clásicamente el estado del campo de calibre se define únicamente por su intensidad de campo; solo mecánicamente cuánticamente (porque los estados con la misma intensidad de campo pero diferentes potenciales de calibre subyacentes pueden tener diferentes fases y, por lo tanto, interferir) los modos de calibre puros importan en absoluto.

Nombre AAAA

pero aún se pueden definir configuraciones de potencial de calibre en las que el tensor de fuerza desaparece. Supongamos que la transformación de calibre

A_{μ} = 0 \to A_{μ} = g \partial_{μ} g - 1

$A_{\mu} = 0 \to A_{\mu} = g\partial_{\mu}g{-1}$ , dónde

g

$g$ lleva un número de bobinado no trivial. Esta es una transformación de calibre grande. es el tensor de fuerza

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$ cambiado bajo esta transformación; es decir, ¿es esta transformación continua (que tiene cero conmutador

[\partial_{μ}, \partial_{ν}] g

$[\partial_{\mu},\partial_{\nu}]g$ por simplicidad)?

La transformación de calibre "grande" no actúa como una transformación sin hacer nada en QFT: buscando un analógico clásico

Nombre AAAA

Respuestas (2)

una mente curiosa

Jak

una mente curiosa

Zumbido

Nombre AAAA

Zumbido

Nombre AAAA

Zumbido

Nombre AAAA

Invariancia de la medida de integración funcional

Invariancia de calibre o invariancia global, ¿cuál hace que la teoría sea renormalizable?

¿Por qué el ordenamiento normal viola la identidad de Ward?

¿Por qué las teorías de calibre tienen tanto éxito?

¿Por qué se mantiene la identidad de Ward para las teorías de calibre?

Distinguir experimentalmente entre estados físicos topológicamente no equivalentes en la teoría de calibre

Faddeev-Popov Haar mide la invariancia para U(1)U(1)U(1)

¿La conexión del manómetro es única?

Fijación de calibres y ecuaciones de movimiento.

Topología de grupo de indicadores