¿Cómo construir correctamente el tensor electromagnético en el espacio-tiempo curvo?

¿Cómo construyo correctamente el tensor electromagnético en el espacio-tiempo curvo ? Tengo mi métrica de espacio-tiempo curva ( + , − , − , − ) y mi vector potencial magnético A . Intenté dos formas pero no estoy seguro de cuál es la correcta (si es que hay una).

Primera forma:

  1. Calcular el campo magnético B del rotacional del vector potencial magnético A :

    B = ∇ × A .

  2. Coloque los componentes resultantes directamente en la definición del tensor electromagnético contravariante en coordenadas cilíndricas:

    F m v = ( 0 0 0 0 0 0 0 B z 0 0 0 − B r 0 − B z B r 0 ) .

Segunda forma:

  1. Defina el cuatro potencial electromagnético ( ϕ es cero en mi problema):

    A α = ( ϕ , A ) .

  2. Baje el índice de cuatro potenciales contrayéndolo con mi tensor métrico covariante.

  3. Calcule los componentes del campo electromagnético con la fórmula

    F m v = ∂ m A v − ∂ v A m .
    Reemplacé las derivadas ordinarias con derivadas covariantes.

  4. Eleve los índices de este tensor de campo electromagnético covariante para compararlos con la primera forma.

El problema es que parece que no puedo obtener los mismos resultados con ambos métodos, lo que dice claramente que estoy haciendo algo mal. ¿Hay algo fundamentalmente erróneo en dar estos pasos?

Respuestas (1)

Tu segundo método es correcto.

Para comparar, digamos, el campo magnético con lo que encuentra en Jackson, realmente necesita darse cuenta de que existe la suposición de que tiene vectores de base unitaria allí, y que el producto vectorial es en realidad un dual hodge (que invocará factores del cuadrado raíz del determinante de la métrica). Esto hará que las comparaciones directas sean un poco complicadas al pasar de una notación a otra.

Por supuesto, en última instancia, ambos métodos funcionarán. El segundo método es mucho más a prueba de errores y también es coordinado (y el único paso dependiente de la métrica es la reducción del índice de A m ) independiente.

(Tenga en cuenta que lo que digo arriba es que no importa si reemplaza las derivadas ordinarias con derivadas covariantes, ya que:

∇ a v b = ∂ a v b − Γ a b C v C
,

Lo que significa que

∇ a v b − ∇ b v a = ∂ a v b − ∂ b v a − Γ a b C v C + Γ b a C v C = ∂ a v b − ∂ b v a
,

entonces realmente son la misma cosa.)

Entonces, incluso si estoy usando coordenadas cilíndricas (mi métrica es Weyl), ¿puedo aplicar directamente esas derivadas parciales del segundo método y continuar con los cálculos? ¿Hay algo que deba hacer si no estoy trabajando con coordenadas cartesianas?
@Giovanni Sí, esa es la forma de hacerlo. Pero tenga cuidado al subir y bajar cuando, por ejemplo, encuentre la fuente del campo: esa es la parte donde entra la métrica adicional.
@Giovanni: sí, pero vea más arriba sobre el hodge dual. El producto cruzado no se generaliza trivialmente al espacio curvo de la forma en que lo hace el producto escalar. Todo es cuestión de cómo desea presentar los componentes. Sugeriría comenzar con el espacio cartesiano ordinario en tres coordenadas y ver lo que es necesario para reproducir las fórmulas enlatadas en Griifiths/Jackson.
Todavía no estoy familiarizado con el hodge dual, pero leí en alguna parte que también podría aplicar el Curl usando una densidad de tensor Levi-Civita de cuatro dimensiones.
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