Electromagnetismo en el espacio-tiempo curvo

Hay algunos aspectos aquí:

• Primero, tienes razón en que$g^{\alpha\mu}g^{\beta\nu}$simplemente aumente los índices en$F_{\mu\nu}$.
• El tensor de intensidad de campo se define realmente como una forma diferencial de segundo orden, es decir$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$con derivadas parciales. Eso no importa para calcular los componentes, ya que los términos extra con los símbolos de Christoffel se cancelan, pero el formalismo es mucho más claro.
• Finalmente, sobre el$\sqrt{-g}$: Este es un truco estándar para reescribir divergencias (covariantes). Observe que la derivada covariante (su primera ecuación) se puede expandir como $$D_\alpha F^{\alpha\beta}=\partial_\alpha F^{\alpha\beta} + \Gamma_{\alpha\gamma}^{\alpha} F^{\gamma\beta}+ \Gamma_{\alpha\gamma}^{\beta} F^{\gamma\alpha}\,.$$ El último término desaparece porque$\Gamma$es simétrica en los índices inferiores y$F$es antisimétrico. Los primeros símbolos de Christoffel son $$\Gamma_{\alpha\gamma}^\alpha=\frac{1}{2}g^{\alpha\delta}\left(\partial_\gamma g_{\alpha\delta}+\partial_\alpha g_{\gamma\delta}-\partial_\delta g_{\alpha\gamma}\right)\,,$$ donde el segundo y el tercer término se anulan (¿puedes ver por qué?), entonces $$\Gamma_{\alpha\gamma}^\alpha=\frac{1}{2}g^{\alpha\delta}\partial_\gamma g_{\alpha\delta}\,.$$ Esta es de la forma$\text{tr}\left(M^{-1}\partial M\right)$para la matriz$g$. usando la identidad $$\ln \det M=\text{tr}\ln M$$ (ver, por ejemplo , https://math.stackexchange.com/questions/1487773/the-identity-deta-exptrlna-for-a-general ), podemos reescribir esto como $$\frac{1}{2}g^{\alpha\delta}\partial_\gamma g_{\alpha\delta} = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\gamma \sqrt{-g}\,,$$ y su segunda fórmula se sigue de la regla de Leibniz. (Puede que me haya perdido o no un signo menos en alguna parte).