¿Cómo varía la velocidad de la luz en un agujero negro?

Aunque se han planteado preguntas interesantes y muy importantes sobre el comportamiento exótico en el horizonte de sucesos usando argumentos de la mecánica cuántica, al menos clásicamente, es decir, en la Relatividad General, nada dramático sucede en el horizonte de sucesos y nada catastrófico le sucede a la Física a menos que esté en el centro. Está bien establecido que en una perspectiva puramente clásica (que sabemos que no es suficiente para un estudio exhaustivo de los BH) ciertamente podemos calcular la velocidad coordinada de la luz.

En un espacio-tiempo con un Schwarzschild BH, la famosa métrica de Schwarzschild se escribe como

$d\tau^2$ $=$ $\bigg(1-\dfrac{2M}{r}\bigg)dt^2 - \dfrac{1}{\bigg(1-\dfrac{2M} {r}\bigg)}dr^2 - r^2 d\Omega^2$

donde los símbolos tienen el significado habitual y el Schwarzschild BH no giratorio y sin carga está en$r=0$.

Ahora, caracterizamos el movimiento de un fotón por$d\tau^2=0$asumiendo la validez del Principio de Equivalencia en todas partes (al menos en todas partes excepto en la Singularidad en$r=0$). Por lo tanto, la ecuación de movimiento de un fotón se convierte en

$0$ $=$ $\bigg(1-\dfrac{2M}{r}\bigg)dt^2 - \dfrac{1}{\bigg(1-\dfrac{2M} {r}\bigg)}dr^2 - r^2 d\Omega^2$

Por lo tanto, la velocidad coordinada (el único concepto significativo de velocidad para un fotón de todos modos) se puede encontrar fácilmente usando la ecuación de movimiento anterior. En el caso especial de movimiento radial (es decir,$d\Omega=0$), la velocidad de las coordenadas se puede expresar como

$\bigg|\dfrac{dr}{dt}\bigg| = \bigg|1-\dfrac{2M}{r}\bigg|$

Esta expresión se comporta bien y es igualmente válida tanto dentro (excepto la Singularidad) como fuera del horizonte de sucesos.

Una peculiaridad de la que no conozco la resolución completa (y, por lo tanto, en realidad cuestiona la credibilidad de mi respuesta. En el caso de que mi respuesta no pueda repararse, siéntase libre de eliminarla) es que aunque matemáticamente no hay problemas en Al calcular la velocidad de esta coordenada dentro del horizonte de eventos, dado que la coordenada de tiempo es en realidad la hora que se muestra en un reloj lejos del BH, es imposible para la persona que mide el desplazamiento radial dentro del horizonte de eventos realizar un seguimiento de la$t$coordinar debido a su incapacidad para enviar señales a ese reloj distante.

Bueno, las mejores respuestas a esta pregunta se han cubierto en gran medida en las respuestas a la pregunta ¿ Cómo se comporta la luz dentro del horizonte de eventos de un agujero negro?

La respuesta directa a la pregunta sobre la velocidad de la luz dentro del horizonte es simple: la velocidad coordinada de la luz depende del sistema de coordenadas. En el sistema de coordenadas Kruskal-Szekeres que se muestra a continuación (de la referencia anterior), la velocidad es c, o 1 cuando usamos unidades donde c=1. Y sí, puede obtener otras respuestas para la velocidad coordinada de la luz, solo dependen de las coordenadas y no son invariantes en ningún sentido. En un marco de coordenadas locales, siempre es c; localmente, la luz siempre viaja en c. Como Rennie muestra matemáticamente en su respuesta, incluso cuando un observador en caída libre se acerca al horizonte desde el exterior, la velocidad de la luz para él/ella sigue siendo c.

La descripción a continuación también le dice lo que le sucede a la luz en el interior.

De la referencia, la respuesta de Rennie es instructiva. El de Motl analiza cómo se ve diferente en diferentes marcos de coordenadas, con coordenadas de tipo Penrose para comprender mejor la estructura causal del espacio-tiempo, lo que significa, en esencia, que puedes ver las geodésicas de luz explícitamente. Pero ambos enfatizan la velocidad coordinada de la luz. Lo más fácil de entender, en mi opinión, es la descripción de @Alfred-Centauri y el diagrama del espacio-tiempo usando las coordenadas de Kruskal-Szekeres, que son un conjunto de coordenadas particularmente bueno para ver las geodésicas ligeras y, por lo tanto, la estructura causal del espacio-tiempo, tanto DENTRO como FUERA del horizonte. Copié ese diagrama a continuación de la respuesta de Alfred-Centauri, donde las geodésicas de luz son simplemente líneas a 45 grados, como un diagrama de espacio-tiempo de Minkowski. Puedes ver que los rayos de luz (conos de 45 grados dentro del agujero negro) desde el interior del horizonte, nunca se acercan al horizonte, en realidad se acercan a r = 0, la singularidad, y si de alguna manera comenzaran en el horizonte se quedan allí. El artículo wiki para esas coordenadas está enhttps://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal%E2%80%93Szekeres_coordinates

Y como puede ver en el diagrama, la luz (ni nada más) puede escapar del Agujero Negro desde adentro, siempre irá hacia la singularidad. En el exterior, también siempre es igual a c en esas coordenadas, pero tenga en cuenta que el horizonte siempre está en t = infinito en las coordenadas de Schwarszchild, por lo que desde el exterior, para un observador en el infinito espacial, que es lo que representan las coordenadas de Schwartszchild, la luz en realidad nunca llega. al horizonte tampoco, aunque siempre viajando a c.