¿La siguiente serie infinita compleja converge o diverge?

Question

¿La siguiente serie infinita compleja converge o diverge?

Matemáticas
análisis complejo
secuencias y series

álgebra linealdesechable

Actualmente estoy abordando un problema de tarea que pregunta si la siguiente serie converge o diverge:

\sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{i^{norte}}{norte + 1}

$\sum_{n=0}^\infty \frac{i^n}{n+1}$ Actualmente, he intentado la prueba de la razón en vano, porque llego a una expresión final de

lim_{n \to \infty} \frac{i (n + 1)}{n + 2}

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{i(n+1)}{n+2}$ lo que realmente no ayuda a determinar la convergencia. Además, he tratado de pensar en series similares que podrían usarse para hacer una prueba de comparación, pero no puedo pensar en nada que funcione. ¡Cualquier respuesta y explicación sería muy útil y muy apreciada!

dxiv

Pista: mira las partes real e imaginaria como series separadas.

álgebra linealdesechable

@dxiv, ¿puede aclarar qué es exactamente la "parte real" de esta serie? Para mí, el elemento de la serie es estrictamente imaginario.

dxiv

Escribe los primeros términos:

\frac{1}{1} + \frac{i}{2} - \frac{1}{3} - \frac{i}{4} + \frac{1}{5} + \dots

$\frac{1}{1} + \frac{i}{2}-\frac{1}{3}-\frac{i}{4}+ \frac{1}{5} + \cdots$

Respuestas (2)

¿La siguiente serie infinita compleja converge o diverge?

Pista: mira las partes real e imaginaria como series separadas.
@dxiv, ¿puede aclarar qué es exactamente la "parte real" de esta serie? Para mí, el elemento de la serie es estrictamente imaginario.
Escribe los primeros términos: $\frac{1}{1} + \frac{i}{2} - \frac{1}{3} - \frac{i}{4} + \frac{1}{5} + \dots$ $\frac{1}{1} + \frac{i}{2}-\frac{1}{3}-\frac{i}{4}+ \frac{1}{5} + \cdots$

Brevan Ellefsen · Answer 1

\sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{i^{norte}}{norte + 1} = \frac{1}{0 + 1} + \frac{i}{1 + 1} + \frac{- 1}{2 + 1} + \frac{- i}{3 + 1} + \dots

$\sum_{n=0}^\infty \frac{i^n}{n+1}=\frac{1}{0+1}+\frac{i}{1+1}+\frac{-1}{2+1}+\frac{-i}{3+1}+\cdots$

= \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{norte}}{2 norte + 1} + i \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{norte}}{2 norte + 2}

$=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}+i\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+2}$
¿Reconoces la primera suma de algún lado? Tal vez la fórmula de Leibnez para

π

$\pi$ ? ¿Qué pasa con la segunda suma? Si tomamos un factor de

2

$2$ fuera del denominador, ¿notas una serie famosa para

\log (2)

$\log(2)$ ?

Nosrati · Answer 2

\begin{array}{rcl} - registro (1 - z) & = & \int \frac{1}{1 - z} d z \\ = & \int \sum_{1} z^{norte} \\ = & \sum_{1} \int z^{norte} \\ = & \sum_{1} \frac{z^{norte + 1}}{norte + 1} \\ = & z \sum_{1} \frac{z^{norte}}{norte + 1} \\ = & z \sum_{0} \frac{z^{norte}}{norte + 1} - z \end{array}

$\begin{eqnarray} -\log(1-z)&=&\int\frac{1}{1-z}dz\\&=&\int\sum_1z^n\\&=&\sum_1\int z^n\\&=&\sum_1\frac{z^{n+1}}{n+1}\\&=&z\sum_1\frac{z^{n}}{n+1}\\&=&z\sum_0\frac{z^{n}}{n+1}-z \end{eqnarray}$ colocar

z = i

$z=i$ , tenemos

1 + i \log (1 - i) = 1 + \frac{π}{4} + 2 k π + i \frac{1}{2} \ln 2

$1+i\log(1-i)=\color{blue}{1+\dfrac{\pi}{4}+2k\pi+i\dfrac12\ln2}$ .

¿La siguiente serie infinita compleja converge o diverge?

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dxiv

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dxiv

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Brevan Ellefsen

Nosrati

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