¿Cómo encontrar el Lagrangiano de este sistema?

Question

¿Cómo encontrar el Lagrangiano de este sistema?

Física
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
principio variacional
ecuaciones diferenciales

shengkai li

Estoy tratando de encontrar el Lagrangiano $L$ de un sistema que estoy estudiando. Las ecuaciones de movimiento son:

{\begin{array}{cl} r \ddot{ϕ} + 2 \dot{r} \dot{ϕ} + k (r) \cdot r \dot{r} \dot{ϕ} = 0 \\ \ddot{r} - r {\dot{ϕ}}^{2} - k (r) \cdot r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} = 0 \end{array}

$\left\{ \begin{array}{c l} r \ddot{\phi} + 2\dot{r} \dot{\phi}+k(r) \cdot r \dot{r} \dot{\phi} = 0\\ \ddot{r} - r \dot{\phi}^2 - k(r) \cdot r^2 \dot{\phi}^2 = 0 \end{array}\right.$

He probado un Ansatz general $L=L_1+L_2=\Sigma_{m,n,p,q} C_{m,n,p,q} r^m \dot{r}^n \phi^p \dot{\phi}^q+L_2(k(r))$ y conectado a la ecuación de Euler-Lagrange pero encuentra el cálculo extremadamente tedioso. ¿Hay alguna forma sistemática de encontrarlo?

Realmente apreciaría cualquier pista. ¡Gracias!

Actualizar:

Por un pequeño reordenamiento,

{\begin{array}{cl} \ddot{ϕ} + F (r) \dot{r} \dot{ϕ} = 0 \\ \ddot{r} + GRAMO (r) {\dot{ϕ}}^{2} = 0 \end{array}

$\left\{ \begin{array}{c l} \ddot{\phi} + F(r) \dot{r} \dot{\phi}= 0\\ \ddot{r} +G(r) \dot{\phi}^2 = 0 \end{array}\right.$ dónde

F (r) = \frac{2}{r} + k (r), GRAMO (r) = - (r + k (r) \cdot r^{2})

$\begin{equation} F(r)=\frac{2}{r} + k(r), \quad G(r)=-(r+k(r)\cdot r^2) \end{equation}$

si asumimos

L = A (r) {\dot{r}}^{2} + B (r) {\dot{ϕ}}^{2} + C (r) \dot{r} \dot{ϕ}

$L=A(r) \dot{r}^2 + B(r) \dot{\phi}^2 +C(r) \dot{r} \dot{\phi}$ (para que pueda obtener la métrica fácilmente)

Después

{\begin{array}{cl} L_{r} L = 2 A \ddot{r} - B_{r} {\dot{ϕ}}^{2} + C \ddot{ϕ} + A_{r} {\dot{r}}^{2} \\ L_{ϕ} L = 2 B \ddot{ϕ} + 2 B_{r} \dot{r} \dot{ϕ} + C_{r} {\dot{r}}^{2} + C \ddot{r} \end{array}

$\left\{ \begin{array}{c l} \mathscr{L}_r L = 2A \ddot{r} -B_r \dot{\phi}^2+C\ddot{\phi} +A_r \dot{r}^2\\ \mathscr{L}_\phi L = 2B \ddot{\phi} +2B_r \dot{r}\dot{\phi}+C_r\dot{r}^2 + C \ddot{r} \end{array}\right.$ dónde

L_{q} L \equiv \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) - \frac{\partial L}{\partial q}

$\mathscr{L}_q L \equiv \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\right)-\frac{\partial{L}}{\partial{q}}$

En comparación con la EOM, requiere

\frac{2 A}{1} = \frac{- B_{r}}{GRAMO (r)}, \frac{2 B}{1} = \frac{2 B_{r}}{F (r)}, C = 0, A_{r} = 0

$\frac{2A}{1}= \frac{-B_r}{G(r)}, \quad \frac{2B}{1}=\frac{2B_r}{F(r)}, \quad C=0, \quad A_r=0$

Me parece bien excepto por $A_r=0$ está en conflicto con los demás.

qmecanico

Por curiosidad, ¿cómo conseguiste las EOM en primer lugar?

shengkai li

@Qmechanic, en realidad son solo

a_{ϕ} + k (r) v_{r} v_{ϕ} = 0

$a_{\phi} + k(r) v_r v_{\phi} =0$ y

a_{r} - k (r) v_{ϕ}^{2} = 0

$a_r -k(r) v_{\phi}^2 = 0$ .

Futurólogo

¿Podrían ser estas las ecuaciones geodésicas de alguna métrica de Riemannis rotacionalmente invariante? Rotacionalmente invariantes, porque tienen un grupo de simetrías de un parámetro

ϕ \to ϕ + s

$\phi \to \phi + s$ . Este coeficiente

k (r)

$k(r)$ podría ser un símbolo de Christoffel?

shengkai li

@Futurologist, probé un poco con la invariancia rotacional. Sin embargo, parece que existen algunos conflictos. He actualizado el trabajo en la descripción. Realmente aprecio su atención.

Futurólogo

@ShengkaiLi Es bueno que hayas resuelto las ecuaciones. Tal vez trate de no establecer

C = 0

$C=0$ y luego simplemente aplicar la matriz inversa de la matriz formada por

A, B, C

$A, B, C$ a las ecuaciones. Obtendrá coeficientes más complicados con funciones desconocidas

A, B, C

$A, B, C$ . Tal vez esto podría funcionar pero, por supuesto, no hay garantía a menos que lo pruebes.

Frobenius

De un comentario de OP parece que tenemos el movimiento de una partícula puntual bajo la influencia de una fuerza:

\begin{matrix} (com-01) & F = metro a = metro (a_{r} {mi}_{r} + a_{ϕ} {mi}_{ϕ}) = metro k (r) υ_{ϕ} (υ_{ϕ} {mi}_{r} - υ_{r} {mi}_{ϕ}) \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{F} = m\mathbf{a}=m \left(a_r\mathbf{e}_{r}+a_\phi\mathbf{e}_{\phi}\right)= m k(r) \upsilon_{\phi}\left(\upsilon_{\phi}\mathbf{e}_{r}-\upsilon_r\mathbf{e}_{\phi}\right) \tag{com-01} \end{equation}$ siempre normal a su velocidad:

\begin{matrix} (com-02) & υ (t) = \dot{r} {mi}_{r} + r \dot{ϕ} {mi}_{ϕ} = υ_{r} {mi}_{r} + υ_{ϕ} {mi}_{ϕ} \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}\left(t\right)=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+ r\dot{\phi}\,\mathbf{e}_{\phi}=\upsilon_r\mathbf{e}_{r}+\upsilon_{\phi}\,\mathbf{e}_{\phi} \tag{com-02} \end{equation}$ como la fuerza magnética por ejemplo.

shengkai li

@Frobenius Sí, este sistema conserva la velocidad. Buena atrapada. Además, la aceleración azimutal se desvanece cuando se va exactamente hacia adentro o hacia afuera (

v_{ϕ} = 0

$v_\phi = 0$ ). ¿Eso significa que debo tener una parte de la fuerza externa en el lado derecho de la ecuación de Euler-Lagrange?

shengkai li

@Futurologist Sobre la matriz que mencionaste, ¿te refieres a la matriz?

M

$M$ en

L = (\dot{r} \dot{ϕ}) M (\dot{r} \dot{ϕ})^{T}

$L=(\dot{r} \quad \dot{\phi}) M (\dot{r} \quad \dot{\phi})^T$ ?

shengkai li

@Frobenius ¿O construir un campo potencial vectorial como para la partícula cargada en un campo magnético?

Frobenius

@Shengkai Li Me disculpo, pero continuaré mañana. Tenga en cuenta que

\begin{matrix} (com-03) & \frac{F}{metro} = υ \times B dónde B = k (r) υ_{ϕ} {mi}_{z} \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\mathbf{F}}{m}=\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B} \quad\text{where} \quad \mathbf{B}=k(r)\upsilon_{\phi}\mathbf{e}_{z} \tag{com-03} \end{equation}$

Cosmas Zachos

No es por distraerte, pero te has dado cuenta

ϕ

$\phi$ está ausente, por lo que también podría definir

θ \equiv \dot{ϕ}

$\theta\equiv\dot{\phi}$ y la ecuación para ello es de primer orden, no de segundo orden. Pero un Lagrangiano para ello puede ser problemático.

Respuestas (1)

¿Cómo encontrar el Lagrangiano de este sistema?

Por curiosidad, ¿cómo conseguiste las EOM en primer lugar?
@Qmechanic, en realidad son solo $a_{\phi} + k(r) v_r v_{\phi} =0$ y $a_r -k(r) v_{\phi}^2 = 0$ .
¿Podrían ser estas las ecuaciones geodésicas de alguna métrica de Riemannis rotacionalmente invariante? Rotacionalmente invariantes, porque tienen un grupo de simetrías de un parámetro $\phi \to \phi + s$ . Este coeficiente $k(r)$ podría ser un símbolo de Christoffel?
@Futurologist, probé un poco con la invariancia rotacional. Sin embargo, parece que existen algunos conflictos. He actualizado el trabajo en la descripción. Realmente aprecio su atención.
@ShengkaiLi Es bueno que hayas resuelto las ecuaciones. Tal vez trate de no establecer $C=0$ y luego simplemente aplicar la matriz inversa de la matriz formada por $A, B, C$ a las ecuaciones. Obtendrá coeficientes más complicados con funciones desconocidas $A, B, C$ . Tal vez esto podría funcionar pero, por supuesto, no hay garantía a menos que lo pruebes.
De un comentario de OP parece que tenemos el movimiento de una partícula puntual bajo la influencia de una fuerza: $\begin{matrix} (com-01) & F = metro a = metro (a_{r} {mi}_{r} + a_{ϕ} {mi}_{ϕ}) = metro k (r) υ_{ϕ} (υ_{ϕ} {mi}_{r} - υ_{r} {mi}_{ϕ}) \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{F} = m\mathbf{a}=m \left(a_r\mathbf{e}_{r}+a_\phi\mathbf{e}_{\phi}\right)= m k(r) \upsilon_{\phi}\left(\upsilon_{\phi}\mathbf{e}_{r}-\upsilon_r\mathbf{e}_{\phi}\right) \tag{com-01} \end{equation}$ siempre normal a su velocidad: $\begin{matrix} (com-02) & υ (t) = \dot{r} {mi}_{r} + r \dot{ϕ} {mi}_{ϕ} = υ_{r} {mi}_{r} + υ_{ϕ} {mi}_{ϕ} \end{matrix}$ $\begin{equation} \boldsymbol{\upsilon}\left(t\right)=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+ r\dot{\phi}\,\mathbf{e}_{\phi}=\upsilon_r\mathbf{e}_{r}+\upsilon_{\phi}\,\mathbf{e}_{\phi} \tag{com-02} \end{equation}$ como la fuerza magnética por ejemplo.
@Frobenius Sí, este sistema conserva la velocidad. Buena atrapada. Además, la aceleración azimutal se desvanece cuando se va exactamente hacia adentro o hacia afuera ( $v_\phi = 0$ ). ¿Eso significa que debo tener una parte de la fuerza externa en el lado derecho de la ecuación de Euler-Lagrange?
@Futurologist Sobre la matriz que mencionaste, ¿te refieres a la matriz? $M$ en $L=(\dot{r} \quad \dot{\phi}) M (\dot{r} \quad \dot{\phi})^T$ ?
@Frobenius ¿O construir un campo potencial vectorial como para la partícula cargada en un campo magnético?
@Shengkai Li Me disculpo, pero continuaré mañana. Tenga en cuenta que $\begin{matrix} (com-03) & \frac{F}{metro} = υ \times B dónde B = k (r) υ_{ϕ} {mi}_{z} \end{matrix}$ $\begin{equation} \dfrac{\mathbf{F}}{m}=\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B} \quad\text{where} \quad \mathbf{B}=k(r)\upsilon_{\phi}\mathbf{e}_{z} \tag{com-03} \end{equation}$
No es por distraerte, pero te has dado cuenta $\phi$ está ausente, por lo que también podría definir $\theta\equiv\dot{\phi}$ y la ecuación para ello es de primer orden, no de segundo orden. Pero un Lagrangiano para ello puede ser problemático.

eli · Answer 1

Queremos encontrar la métrica para estas ecuaciones:

\begin{aligned} \ddot{φ} + F (r) \dot{φ} \dot{r} = 0 & (1) \\ \ddot{r} + GRAMO (r) {(\dot{φ})}^{2} = 0 & (2) \end{aligned}

$\begin{align*} &\ddot{\varphi} +F(r)\,\dot{\varphi}\,\dot{r}=0&(1) \\ &\ddot{r} +G(r)\,\left(\dot{\varphi}\right)^2=0&(2) \end{align*}$

Theory

$\textbf{Theory}$

Las ecuaciones de los movimientos son: (Uso el método de NEWTON EULER)

\begin{aligned} j^{T} j \ddot{\vec{q}} = - j^{T} \frac{\partial (j \dot{\vec{q}})}{\partial \vec{q}} \dot{\vec{q}} + j^{T} \vec{F_{a}} & (3) \end{aligned}

$\begin{align*} &J^T J \,\ddot{\vec{q}} =- J^T\,\frac{\partial\left( J\,\dot{\vec{q}}\right)}{\partial\vec{q}}\,\dot{\vec{q}}+J^T\,\vec{f_a}&(3)\\ \end{align*}$ con vectores

\vec{q}

$\vec{q}$ de las coordenadas generalizadas:

\begin{aligned} \vec{q} = [\begin{matrix} φ \\ r \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} \vec{q}= \begin{bmatrix} \varphi \\ r \\ \end{bmatrix} \end{align*}$ , la Matriz de Jacobi (Ansatz):

\begin{aligned} j & = [\begin{matrix} r & 0 \\ φ & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} J&= \begin{bmatrix} r & 0 \\ \varphi & 1 \\ \end{bmatrix} \end{align*}$ y el vector

\vec{f_{a}}

$\vec{f_a}$ de las fuerzas externas (Ansatz):

\begin{aligned} \vec{F_{a}} = [\begin{matrix} 0 \\ - \frac{φ}{r} \dot{φ} \dot{r} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} \vec{f_a}= \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{\varphi}{r}\,\dot{\varphi}\,\dot{r} \\ \end{bmatrix} \end{align*}$ Obtenemos la ecuación de movimientos (con (3)):

\begin{aligned} \ddot{φ} + \frac{1}{r} \dot{φ} \dot{r} = 0 & (4) \\ \ddot{r} + {(\dot{φ})}^{2} = 0 & (5) \end{aligned}

$\begin{align*} &\ddot{\varphi} +\frac{1}{r}\,\dot{\varphi}\,\dot{r}=0& (4)\\ &\ddot{r} +\left(\dot{\varphi}\right)^2=0&(5) \end{align*}$ Compara los coeficientes de la ecuación (1) con (4) y (2) con (5) obtenemos:

\begin{aligned} F (r) & = \frac{2}{r} + k_{1} (r) \overset{!}{=} \frac{1}{r} \Rightarrow k_{1} (r) = - \frac{1}{r} \\ GRAMO (r) & = - (r + k_{2} (r) r^{2}) \overset{!}{=} 1 \Rightarrow k_{2} (r) = - \frac{r + 1}{r^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} F(r) & =\frac{2}{r}+k_1(r)\overset{!}{=}\frac{1}{r} \,\Rightarrow\quad k_1(r)=-\frac{1}{r}\\ G(r) &=-\left(r+k_2(r)\,r^2\right)\overset{!}{=}1\,\Rightarrow\quad k_2(r)=-{\frac {r+1}{{r}^{2}}} \end{align*}$ Para cumplir las ecuaciones (1) y (2) tengo que tomar dos funciones

k_{1} (r)

$k_1(r)$ y

k_{2} (r)

$k_2(r)$ .

$\textbf{Metric}:$

\begin{aligned} gramo = j^{T} j = [\begin{matrix} r^{2} + φ^{2} & φ \\ φ & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} &g=J^T\,J= \begin{bmatrix} r^2+\varphi^2 & \varphi \\ \varphi & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$

¡Gracias! es interesante el $k(r)$ se limitan a hacer que el ansatz funcione.

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eli

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