La presión en un surtidor de agua y la ecuación de Bernoulli

Esta es una pregunta conceptual sobre la aplicación de la ecuación de Bernoulli a un surtidor de agua.

Hay un problema clásico que se encuentra en muchos textos de física que dice algo así como "tienes una manguera de jardín con una boquilla que se ensancha hacia adentro, por lo que el radio es más pequeño al final. ¿Qué tan alto se dispara el agua en el aire?"

Obviamente, hay detalles para el problema exacto (como cuál es el ángulo de la manguera, la presión o la velocidad, etc.), pero estoy específicamente interesado en la aplicabilidad de la ecuación de Bernoulli al agua que ha salido de la manguera. Parece ser que después de que el agua ha salido de la manguera, ya no satisface las condiciones de la ecuación de Bernoulli. No puedo precisar por qué; No puedo ver exactamente que el flujo no sea laminar, pero dado que la presión fuera del flujo (el aire) ciertamente no está a la misma presión que el agua, ciertamente no parece ser constante.

Según tengo entendido, trataría el agua en la boquilla con la ecuación de Bernoulli (o la continuidad, según las condiciones exactas) y luego simplemente trataría el agua como gotas sobre las que actúa la gravedad. Si eso es cierto, ¿alguien puede aclarar exactamente qué condiciones de la ecuación de Bernoulli se están violando?

Alternativamente, si me equivoco, ¿pueden convencerme de que el agua aún puede considerarse un "fluido" a los efectos de aplicar la ecuación de Bernoulli?

EDITAR: Un ejemplo específico en respuesta a un comentario. Esto muestra que asumir que Bernoulli todavía se aplica es equivalente a asumir que la presión de la corriente es la misma que la presión atmosférica. Tubo de aceite vertical de altura h 1 , presión de aceite (manométrica) en su base de PAG y velocidad del fluido v . ¿Qué tan alto en el aire por el brote de petróleo?

Solución 1) Bernoulli falla cuando el fluido sale de la tubería. La presión cuando sale el fluido es igual a 0 (manométrica) por lo que tenemos la ecuación de Bernoulli en la parte superior de la tubería

PAG + 1 2 ρ v 2 = 1 2 ρ v ′ 2 + ρ gramo h 1 ⟶ v ′ 2 = v 2 + 2 PAG ρ − 2 gramo h 1
Entonces usando la conservación de la energía tenemos
metro gramo h 1 + 1 2 metro v ′ 2 = metro gramo h 2 ⟶ h 2 = h 1 + v ′ 2 2 gramo
h 2 = h 1 + 1 2 gramo ( v 2 + 2 PAG ρ − 2 gramo h 1 ) = v 2 2 gramo + PAG gramo ρ
.

Solución 2) Bernoulli se mantiene durante todo el movimiento. La presión (manométrica) en la parte superior (y en todo el pico) es cero, por lo que Bernoulli nos da

PAG + 1 2 ρ v 2 = ρ gramo h 2 ⟶ h 2 = PAG gramo ρ + v 2 2 gramo

Respuestas (3)

Es un hecho observable empíricamente que los chorros subsónicos (de los cuales su chorro de agua es un ejemplo) de hecho salen a un medio inactivo a la presión de ese mismo medio. El agua saldrá de la boquilla exactamente a la presión ambiental si el número Mach de salida es menor que 1.

Entonces, ¿está diciendo que la presión manométrica del agua es 0 tan pronto como sale de la manguera, y mi solución n. ° 1 es correcta? Parece que tiene un experimento específico en mente: ¿algún dato en línea o video que podamos verificar?
No tengo un video frente a mí en este momento, pero esta es una de las primeras cosas que aprende en un curso introductorio sobre propulsión de motores a reacción. Hay un componente de presión por área del empuje que siempre se ignora para los números de Mach relativos de salida subsónica. Conceptualmente, puede pensarlo así: si la presión de salida no fuera igual a la presión ambiental, las ondas de compresión o expansión podrían propagarse aguas arriba, lo que ajustaría las condiciones aguas arriba hasta que la presión coincidiera. Si el flujo es supersónico, esto no será posible, debido a la nula influencia aguas arriba.

La presión en la corriente debe ser aproximadamente atmosférica, lo que hace que las dos soluciones sean idénticas.

El fluido naturalmente querrá acelerar a favor de un gradiente de presión; hay más fuerza en un lado que en el otro, por lo que hay una fuerza neta y, por lo tanto, el fluido se acelerará.

La viscosidad puede evitar esta aceleración al proporcionar una fuerza contraria, pero solo puede hacerlo en la dirección del flujo, y solo si hay una pared a la que transferir el impulso.

Entonces, si observa la presión en el centro de la corriente libre y luego rastrea la presión a medida que se acerca al aire, la presión debe ser constante, ya que no hay aceleración ni pérdidas de presión viscosa.

Luego, en la interfaz agua/aire, la diferencia de presión estaría determinada por la tensión superficial, pero esa diferencia sería tan pequeña que probablemente podría ignorarse. Cualquier otra diferencia de presión no se equilibraría con una fuerza opuesta, por lo que causaría una aceleración, pero no vemos la aceleración transversal de la corriente, por lo que sabemos que debe haber una diferencia de presión insignificante.

Si hiciera la derivación teórica completa de las leyes de Bernouilli, verá que hay dos situaciones en las que se aplica la ley (además de ser estable, incompresible y libre de efectos de viscosidad):

  1. Si miras una partícula a lo largo de una línea de corriente .

  2. Si el flujo es irrotacional

Dentro de una boquilla, creo que generalmente asumen que se cumple la segunda condición. Tan pronto como el líquido sale de la boquilla, la condición 2 deja de existir y ya no es posible aplicar Bernouilli.

En este caso debes recurrir a las leyes clásicas de la cinética que conoces para describir el movimiento del fluido, para encontrar la altura simplemente aplicas:

metro gramo h = 1 2 metro v 2 .

Bueno, mira, así es como lo estaba pensando originalmente, pero las partículas aún se mueven a lo largo de las líneas de corriente. Las líneas de corriente pueden "extenderse" porque la presión en el exterior ya no es la misma, pero cada pequeño trozo de masa mmetro de las ecuaciones cinemáticas tiene una línea de corriente que parece isomorfa al movimiento parabólico, ¿verdad?
Sí, Bernouilli simplemente describe el movimiento clásico, solo que en el caso de Bernouilli vamos a un límite continuo. Pero el Newton ordinario, etc. aún debería mantenerse. La masa en la ecuación anterior incluso se cancela, por lo que proporciona una ecuación fácil y sin esfuerzo para la altura :).
Ver mi edición anterior; eligiendo un caso al azar, veo que las suposiciones detrás de la ecuación de Bernoulli aparentemente se mantienen durante todo el movimiento. ¿Puedes encontrar un contraejemplo?
Entiendo que las ecuaciones de Newton siempre se mantendrán; Bernoulli es solo una descripción macroscópica de ellos: he agregado un ejemplo específico a la pregunta que muestra esto. ¿Me puede dar un contraejemplo, donde obtiene una respuesta diferente con Bernoulli?
¿Incomprensible? Supongo que quisiste decir incompresible ;-)
Jeje ajustado. Y @levitopher, las ecuaciones de Bernouilli se derivan de la segunda ley de Newton, donde tomamos la situación continua. En la derivación obtenemos que: ∇ ( pρ +gramoh+v22 )= → v ×(rot → v )∇ (pagρ+ gramoh +v22) =v⃗ × ( podredumbre _ _v⃗ ) . Este último término solo desaparece en los dos casos mencionados en mi comentario. En cuanto a un contraejemplo, no puedo pensar en uno de inmediato, pero se mencionó en mi curso que una aplicación errónea de Bernouilli no es infrecuente, y que ya ha habido resultados incorrectos debido a una aplicación incorrecta.
Quizás la respuesta a la siguiente pregunta ayude: "¿Cuál es la presión del fluido dentro de una corriente de agua rodeada de aire?" Si la respuesta es cualquier cosa menos 0 (calibre, tan igual a la atmósfera), entonces las leyes de Newton predicen algo diferente a Bernoulli (ver mis ejemplos anteriores).
Creo que generalmente asumen que las líneas de corriente que salen de la boquilla son paralelas, lo que significa que las diferentes capas no sentirían el estrés normal (es decir, la presión), sino solo el esfuerzo cortante (es decir, la viscosidad), que no estamos considerando.
Todas las condiciones son verdaderas y la ley de Bernoulli funciona bien en la corriente. La presión es simplemente atmosférica y, como tal, la ley de Bernoulli se reduce a la conservación clásica de 12 v2+gh12v2+ gramoh
@Rick: Entiendo que esa es la suposición necesaria para que las dos soluciones coincidan, pero no estoy seguro de tener una buena comprensión conceptual de por qué la presión en la corriente es igual a la presión atmosférica. Supongo que la condición del fluido que no interactúa es clave aquí, pero aún no he marcado una respuesta porque nadie ha abordado este problema específico.
La presión en un surtidor de agua y la ecuación de Bernoulli
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