Ley de Torricelli y densidad variable

Lamento discrepar con la respuesta de Chester Miller.

No ha declarado la causa de la variación de densidad. Si se trata de una configuración a escala de laboratorio, se puede despreciar la variación de densidad debida a la variación de presión (es decir, se puede suponer que el fluido es incompresible). Entonces, la variación de densidad debe deberse a algún otro factor, como por ejemplo debido a la variación en la salinidad.

Para obtener la forma apropiada de la ecuación de Bernoulli para su caso, debemos derivarla desde cero, comenzando con la ecuación de Navier-Stokes. Para un flujo constante incompresible, no viscoso, la ecuación de Navier-Stokes es:

$$\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\mathbf{g}$$ en el cual $\mathbf{u}$es la velocidad del fluido (la fuente en negrita se usa para denotar vectores), $p$es presión, $\rho$es la densidad del fluido que varía con la posición en el fluido, $\mathbf{g}$es el vector de aceleración gravitacional, y " $\cdot$" es el producto punto escalar.

Ahora podemos escribir$\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}=\nabla(u^2/2)-\mathbf{u}\times\mathbf{\omega}$, dónde$u=|\mathbf{u}|$y$\omega=\nabla\times\mathbf{u}$es el vector de vorticidad; este y los resultados subsiguientes pueden probarse fácilmente utilizando la notación indicial, que se lo dejo a usted (o consulte Dinámica de fluidos por Batchelor, Capítulo 3). Más,$\mathbf{g}=\nabla(\mathbf{g}\cdot\mathbf{x})$, en el cual$\mathbf{x}$es el vector de posición de algún origen elegido arbitrariamente. Sustituyendo estos en la ecuación anterior y reorganizando obtenemos:

$$\nabla\left( \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right)+\frac{1}{\rho}\nabla p=\mathbf{u}\times\mathbf{\omega}$$ Desde $\rho$varía con la posición, no puede simplemente ser jalado dentro del $\nabla$operador.

Hay dos formas de simplificar la ecuación anterior. O asume que el flujo es irrotacional, es decir$\omega=0$en todos lados. O integras la ecuación anterior a lo largo de una línea de corriente. La primera es la suposición más simple de hacer, pero es difícil de justificar físicamente; aunque puede haber comenzado como flujo irrotacional porque inicialmente estaba en reposo, digamos, puede no permanecer irrotacional porque no es un fluido barotrópico ( no se aplica el teorema de circulación de Kelvin ). Por lo tanto, hacemos lo siguiente mejor, que es integrar a lo largo de una línea de corriente.

Una línea de corriente es una curva que es tangente a la velocidad del fluido en todas partes. Elija una línea de corriente que comience en la superficie libre y pase por el orificio de salida. Dejar$\mathbf{t}$sea ​​un vector unitario tangente a esa línea de corriente; entonces por definición de la línea de corriente,$\mathbf{t}\times\mathbf{u}=0$en cada punto de la línea de corriente. Por lo tanto$\mathbf{t}\cdot(\mathbf{u}\times\omega)=0$en cada punto de la línea de corriente. Formando el producto escalar con$\mathbf{t}$de la ecuación anterior da:

$$\mathbf{t}\cdot\nabla\left( \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right)+\frac{1}{\rho}\mathbf{t}\cdot\nabla p=0\\ \frac{d}{ds}\left( \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right)+\frac{1}{\rho}\frac{dp}{ds}=0$$ en el cual $s$es el parámetro de la curva aerodinámica (por ejemplo, $s$podría ser la distancia a lo largo de la línea de corriente), cuyo valor varía monótonamente de $s_1$en la superficie libre para $s_2$en el orificio de salida.

Luego integramos la ecuación anterior de$s_1$a$s_2$. es decir, aplicamos el operador$\int_{s_1}^{s_2}ds$. El primer término es fácil:

$$\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{d}{ds}\left( \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right)=\left[ \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right]_{s_1}^{s_2}\\ =\frac{1}{2}(u_2^2-u_1^2)+g(z_2-z_1)=\frac{u_2^2}{2}-gh$$ en el que he elegido que el eje Z esté verticalmente hacia arriba para que $\mathbf{g}=-g\mathbf{e}_z$, $\mathbf{e}_z$siendo el vector unitario a lo largo del eje Z y $g=|\mathbf{g}|$; También he supuesto que la velocidad en la superficie libre es despreciable.

Si escribimos la presión absoluta como$p=p_{atm}+p'$, en el cual$p_{atm}$es la presión atmosférica, entonces$dp/ds=dp'/ds$. También$p'=0$tanto en la superficie libre como en el orificio de salida, porque allí la presión es atmosférica (despreciando los efectos de la tensión superficial). Entonces el segundo término puede estar integrado por partes:

$$\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{1}{\rho}\frac{dp}{ds}=\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{1}{\rho}\frac{dp'}{ds}\\ =\left[ \frac{p'}{\rho}\right]_{s_1}^{s_2}+\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{p'}{\rho^2}\frac{d\rho}{ds}\\ =\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{p'}{\rho^2}\frac{d\rho}{ds}$$

Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli en su caso, aplicada entre la superficie libre (punto 1) y el orificio de salida (punto 2), es:

$$\frac{u_2^2}{2}-gh+\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{p'}{\rho^2}\frac{d\rho}{ds}=0$$ Si la densidad es constante a lo largo de la línea de corriente entonces $d\rho/ds=0$, y la ecuación anterior se reduce a la forma habitual $u_2=\sqrt{2gh}$. De lo contrario tenemos: $$u_2=\sqrt{2}\sqrt{gh+\int_{s_2}^{s_1}ds\frac{p'}{\rho^2}\frac{d\rho}{ds}}$$ donde la dirección de integración es ahora desde el orificio de salida hasta la superficie libre. Podemos escribir $d\rho/ds=(d\rho/dz)(dz/ds)$, en el cual $d\rho/dz$es conocido y $dz/ds$depende de la línea de corriente elegida. Si el fluido estaba inicialmente en reposo, entonces debe estar estratificado de manera estable; además, si la línea de corriente desciende monótonamente (como en la figura anterior), entonces $d\rho/ds>0$en todas partes a lo largo de la línea de corriente y el valor de $d\rho/ds$aumenta desde el orificio de salida hasta la superficie libre. La presión manométrica $p'$dentro de la integral es el término problemático, porque debido a la presencia de flujo a lo largo de la línea de corriente difiere del valor hidrostático.

ApéndiceDado que el fluido está estratificado, se puede objetar que la ecuación de Navier-Stokes con la que comenzamos no tiene en cuenta la fuerza de flotación sobre la partícula del fluido. En un fluido estratificado establemente en equilibrio, las superficies de densidad constante son horizontales; esto significa que mientras las superficies de densidad constante permanezcan horizontales, una partícula de fluido en ese plano horizontal no experimenta fuerza de flotación. La fuerza de flotabilidad entra en juego solo cuando las superficies de densidad constante están inclinadas o distorsionadas. Sin duda, la distorsión será mayor en la región de flujo cercana al orificio de salida, reduciéndose a medida que nos alejamos del orificio de salida. Por lo tanto, la ecuación de Navier-Stokes con la que comenzamos no es válida en la región cercana al orificio de salida. Presumiblemente, esta región no es lo suficientemente grande y nuestra ecuación se mantiene aproximadamente a lo largo del resto de la línea de corriente lejos del orificio de salida.

Sea la base del tanque el dato (z = 0) para energía potencial cero. Entonces, la forma de la ecuación de Bernoulli que sería válida para este problema implicaría una integral de la variación de la densidad. Tomando las dos ubicaciones para aplicar la ecuación de Bernoulli como 1. la superficie superior del fluido en el tanque (suponiendo que esté abierto a la atmósfera) y 2. el orificio de salida, tenemos:

$$p_{atm}+\int_0^H{\rho g dz}+0=p_{atm}+\int_0^{(H-h)}{\rho g dz}+\frac{1}{2}\rho_{(H-h)} v^2$$ Esto se reduce a $$\frac{1}{2}\rho_{(H-h)} v^2=\int_{(H-h)}^H{\rho g dz}$$