Autoestados en QFT y amplitud de un operador de campo

Su mejor apuesta podría ser el texto QFT demasiado detallado de Itzykson & Zuber, insertado en 3.1.2. Explican que su expresión demasiado ingenua (1) produce estados propios de$\hat \phi (x)_-$, no$\hat \phi (x)$. La respuesta que está citando claramente le advierte que este no es un estado propio del operador de campo. (Por cierto, su$|f(x)\rangle$debería ser realmente$|f\rangle$, ya que cubre todas las x s. El argumento es la función, no su valor en alguna x ).

En lugar de perecer en una pesadilla de transformadas secuenciales de Fourier, indexación desenfrenada y normalizaciones para hacer cumplir la invariancia de Lorentz y la hermiticidad, le daré una pista fácil .

Eliminaré toda la variedad infinita de osciladores de QFT, conservando solo uno, y le recordaré las maniobras básicas de estado coherente, esbozando el mapa de ruta para su prueba que involucra una infinidad de osciladores.

Entonces, solo mantenga un solo oscilador y vaya a aquí ; aquí ; y aquí para detalles técnicos.$\hat \phi$aquí corresponde a$\hat x$,$\hat \phi_+$a$a^\dagger$, pero$\hat p$al campo canónico conjugado$\pi$; claramente no es su etiqueta de oscilador , pelusa, para su$|\vec p\rangle$, que se ha reducido a un solo valor aquí (junto con su etiqueta x fluff).

Recordar$[a , a^\dagger ]=1$. Entonces, tomando x=f para su configuración clásica, aquí, ubicación,

$$|f\rangle = N(f) ~ \exp\left ( -\frac{(a^\dagger -f\sqrt{2})^2} {2}  \right )|0\rangle   \Longrightarrow  \hat{~x}~|f\rangle=f|f\rangle,\\ |p\rangle= N(p) ~ \exp \left( \frac{(a^\dagger +ip\sqrt{2})^2}{2}   \right ) |0\rangle  \Longrightarrow  \hat{~p}~|p\rangle=p|p\rangle ~.$$ Puedes intentar arreglar$N(x)=e^{x^2/2}/\pi^{1/4}$de$\langle 0|x\rangle$, el estado fundamental de Schrödinger del oscilador. (¡De hecho, N es la inversa de la Gaussiana!) Luego se muestra que $$\langle p |x\rangle= e^{ixp}/ \sqrt{2\pi}.$$ La maniobra básica es que a actúa como un operador derivado en el$a^\dagger$s en las exponenciales.

El análogo del conjugado de tu amplitud (2) aquí es

$$\langle 0| a |f\rangle = \langle 0|f\sqrt{2}-a^\dagger|f\rangle= f\sqrt{2} ~ \langle 0 |f\rangle =f\sqrt{2}~e^{-f^2/2}/\pi^{1/4}.$$ No estoy seguro de lo que aprendería de esto para un oscilador aislado y, a fortiori, en la teoría del campo escalar, pero ahí está.

Tenga en cuenta que si solo hubiera mantenido los términos cruzados en el exponente, es decir, si hubiera descartado el término cuadrático en el exponente, habría obtenido la misma respuesta para (2), ya que la función de desplazamiento operativa de a es ¡lo mismo para los estados coherentes en QM!

Por supuesto, el verdadero McCoy aquí no es más que el estado mismo,

$$\frac{ a +a^\dagger}{\sqrt{2}} |f\rangle = f |f\rangle .$$ Esto podría ayudar a iluminar el papel del término cuadrático en el exponente: dejar caer ese término cuadrático en el exponente produciría un estado propio de simplemente a .