Todas mis fichas están en mi casa, todas las fichas de mi oponente no están en mi casa.
Tiro los dados.
Suponiendo que no puedo eliminar las fichas, ¿cuál es mi mejor estrategia para hacerlas avanzar? Por ejemplo, cuando esta es mi casa y saco un 2, ¿debo mover el 6 o el 3?
#| | | | | | |#
#|X| | |X| | |#
Como no dependo de mi oponente, asumo que hay una estrategia óptima que puedo usar aquí. ¿Será "mover siempre los números más altos"?, ¿"mover siempre los más bajos"?, ¿algo más complicado?
En el caso simple que describí anteriormente, sé que es mejor mover el 6, ya que mis posibilidades de salir en la próxima ronda son mayores:
opción 1 : mover el 3
resultado:
#|X| | | | |X|#
oportunidad de ganar:
Tengo que sacar un 6 al menos en un dado, así que es
# get a 6 in the first dice
1/6 +
# get 2-5 in the first dice, 6 in the second or double
4/6 * (1/6 + 1/6) +
# get 1 in the first dice, 6 in the second
1/6 * 1/6 =
# result:
0.416
opción 2 : mueve el 6
resultado:
#| | |X|X| | |#
oportunidad de ganar:
Tengo que sacar al menos un 3,4:
# both dice get 3-6:
4/6 * 4/6 +
# double 2:
1/6 * 1/6
# result:
0.472
Muy cerca, pero es mejor mover el 6.
Pero este es un caso simplificado, asumiendo que terminaré en la próxima ronda o en la siguiente. ¿Qué pasa cuando tengo más de 2 fichas?
La lógica de encontrar la "regla general" en estas situaciones es defectuosa y conducirá a posibles errores. Hay posiciones en las que tienes que mover el número más alto o más bajo y necesitas poder calcular rápidamente el número de combinaciones de dados que son favorables o no para tu próxima tirada.
En su ejemplo, si deja las fichas en 6,1 puntos: necesita los seises (11 peines) más 55,44,33,22 (4 peines), un total de 15.
Sin embargo, si deja las fichas en 4,3 puntos, necesita 65,64,63,54,53,43 (12 peines) más 66,55,44,33,22 (5 peines) para un total de 17 rollos. La última jugada es superior.
En caso de que uno se pregunte por qué no mover siempre el punto más alto, considere el ejemplo de tener dos fichas en 5,3 con la necesidad de jugar un dos. si tu jugada es 5-3, dejando las damas en 3,3 claramente perderás más partidas que si hubieras movido 3-1, recibiendo la posición de 5,1. Te dejaré calcular los peines y comparar.
Hablando matemáticamente, debe minimizar el número promedio de dados adicionales necesarios para sacar todas las fichas. Esto implica una minimización de la cantidad de tiradas caídas, tiradas que no eliminan una ficha de su casa, sino que solo la hacen avanzar más.
Suponga que mueve el tres al uno y deja el seis allí en el primer turno. En el segundo turno, ahora debe sacar un 6 y un {1,2,3,4,5} o un doble {2,3,4,5,6} para despejar ambas fichas con una probabilidad de 15/36. Cualquier cosa menos sacará una ficha con una probabilidad de 19/36 o nada con una probabilidad de 2/36.
En tu tercer turno, sacas la última ficha con una probabilidad que depende de la tirada anterior, pero en un promedio del 96,6 % de las veces, ahora estás acabado. El 3,4% restante requiere una cuarta vuelta. Si le quedaron ambas fichas, saca ambas 17/18 para terminar y requiere una cuarta vuelta para el 1/18 restante.
En general, este es un promedio de 2.604 vueltas para obtener ambos .
Un análisis similar encuentra que al mover el seis al cuatro y dejar el tres, tiene un 47 % de terminar en el segundo turno y un 50 % de terminar en el tercer turno. El promedio desde esta posición es de 2.553 vueltas para sacar ambos .
Tenga en cuenta que en cada turno posterior, está mejor posicionado para terminar en ese turno exacto moviendo los seis hacia adelante en el primer turno, no los tres. La razón es simple: la tirada de un solo dado tiene una distribución uniforme y la tirada de dos dados tiene una distribución triangular. Esto significa que es más probable que alcance valores en el medio del rango, ya sea 3 o 4, y menos probable que alcance los extremos, 1 o 6, mientras que 2 y 5 se encuentran en el medio. Dado que sacar requiere al menos un número particular, y los rollos pequeños solo sacan números pequeños, es más probable que una ficha en el medio pueda sacar que una ficha en el seis. Al mover las fichas del extremo superior al medio, obtiene mejores posibilidades de salir mucho más rápido que al moverse del extremo medio al inferior.
Puede probarlo usted mismo: configure un tablero con ambos colores en sus propias casas, blanco dividido entre uno y seis puntos, negro entre tres y cuatro puntos. La gran mayoría de los juegos terminarán con una victoria de las negras: las blancas luchan por usar las tiradas intermedias para mover las fichas altas hacia adelante, mientras que las negras usan casi todos los turnos para eliminar al menos una ficha. Para ejemplificar realmente el punto, use turnos idénticos para ambos lados lanzando los dados una vez y jugando ambos con esos números.
En términos de estrategia, esto significa
Elimina la mayor cantidad de fichas posible.
Mueva hacia adelante las fichas restantes más altas que no se pueden sacar.
the single die roll has a uniform distribution and the pair dice roll has a triangular distributionNo seguí tu razonamiento sobre esto. Dos dados se distribuyen uniformemente sobre {1-6}x{1-6}. también, mira el ejemplo de Skytten, si tienes 5,3 y sacas un 2, es mejor mover el 3 para giros promedio de 1.3 en lugar de 1.52 si mueves el 5Para un pequeño número de damas, las probabilidades relativas se pueden calcular exactamente como se describe en otras respuestas. En los casos de demasiadas fichas para realizar cálculos en su cabeza, los jugadores de campeonato han recomendado durante mucho tiempo la siguiente heurística:
Divida el tablero de inicio en tres cubos de la siguiente manera:
Minimice la cantidad de movimientos que no reducen el número de baldes de una dama; o, alternativamente, maximizar el número de movimientos que reducen el número de baldes de una dama.
Esto se puede recordar más sucintamente como:
Siempre que sea posible: alcance el 5(-punto) o alcance el 2(-punto) con todas las fichas que no se puedan sacar .
Acumulación
Dotán