La mayor distancia entre una partícula que se mueve con velocidad constante y una partícula que se mueve con aceleración constante

Question

La mayor distancia entre una partícula que se mueve con velocidad constante y una partícula que se mueve con aceleración constante

Prajwal Tiwari

Dos partículas comienzan a moverse a lo largo de la misma línea recta comenzando en el mismo momento desde el mismo punto en la misma dirección. El primero se mueve con velocidad constante. $u$ y el segundo con aceleracion constante $a$ . Durante el tiempo que transcurre antes de que la segunda alcance a la primera, la mayor distancia entre las partículas es ?

Pude llegar a la respuesta utilizando un enfoque matemático simple y considerando el movimiento relativo:

Sea 1 la partícula con velocidad constante y 2 la partícula con aceleración constante.

$u_{(1,2)}$ (Velocidad inicial de 1 con respecto a 2) $=u$

$a_{(1,2)}=-a$

dejar $x$ Sea la distancia entre las partículas en cualquier momento $t$ ,

$x=ut-\frac{1}{2}at^2$

Usando máximos-mínimos en esto, (Tomando derivadas e igualando a 0), obtenemos $t=\frac{u}{a}$

Poniendo esto en la ecuación, obtenemos $x=\frac{u^2}{2a}$

Pero cuando observé más estos valores, descubrí que $t=\frac{u}{a}$ pasa a ser el momento en que la velocidad de la segunda partícula se vuelve $u$ es decir, igual a la velocidad constante del primero.

No creo que esto sea solo una mera coincidencia matemática y esto debe significar algo, pero no puedo entender esto.
¿Siempre ocurre la mayor distancia entre dos partículas como estas cuando la velocidad de la segunda se iguala a la de la primera? Si es así, ¿por qué? ¿Puede alguien ayudarme a entender esto?

Juan Rennie

Hola Prajval. Es una gran pregunta y una que probablemente puedas responder por ti mismo con una pista. Supongamos que vemos el movimiento en el marco de reposo de la partícula que no acelera. En este marco, la partícula acelerada se aleja inicialmente a una velocidad -v. Considere cómo se ve el movimiento en este cuadro y tendrá su respuesta :-)

PM 2 Anillo

También tenga en cuenta que si pone

u = a t

$u=at$ en la ecuación para

x

$x$ usted obtiene

X = a t^{2} - \frac{1}{2} a t^{2}

$x=at^2-\frac12 at^2$

Prajwal Tiwari

@JohnRennie ¡Gracias por esa pista! Creo que mirando desde el marco de la partícula que no acelera, primero veríamos que ocurre alguna separación hasta el punto

t = \frac{u}{a}

$t=\frac{u}{a}$ entonces veríamos acercamiento, por lo tanto, la distancia máxima ocurre exactamente en ese punto

Juan Rennie

Sí :-) Es como tirar una piedra hacia arriba. La separación máxima entre usted y la piedra está en su vértice cuando está inmóvil en relación con usted, es decir, viajando a la misma velocidad que usted.

Cristóbol Policronópolis

Para decirlo de manera más directa: cuando las velocidades son iguales, la partícula acelerada deja de caer detrás de la partícula v constante y comienza a alcanzarla.

Respuestas (3)

La mayor distancia entre una partícula que se mueve con velocidad constante y una partícula que se mueve con aceleración constante

Hola Prajval. Es una gran pregunta y una que probablemente puedas responder por ti mismo con una pista. Supongamos que vemos el movimiento en el marco de reposo de la partícula que no acelera. En este marco, la partícula acelerada se aleja inicialmente a una velocidad -v. Considere cómo se ve el movimiento en este cuadro y tendrá su respuesta :-)
También tenga en cuenta que si pone $u=at$ en la ecuación para $x$ usted obtiene $X = a t^{2} - \frac{1}{2} a t^{2}$ $x=at^2-\frac12 at^2$
@JohnRennie ¡Gracias por esa pista! Creo que mirando desde el marco de la partícula que no acelera, primero veríamos que ocurre alguna separación hasta el punto $t=\frac{u}{a}$ entonces veríamos acercamiento, por lo tanto, la distancia máxima ocurre exactamente en ese punto
Sí :-) Es como tirar una piedra hacia arriba. La separación máxima entre usted y la piedra está en su vértice cuando está inmóvil en relación con usted, es decir, viajando a la misma velocidad que usted.
Para decirlo de manera más directa: cuando las velocidades son iguales, la partícula acelerada deja de caer detrás de la partícula v constante y comienza a alcanzarla.

jose h · Answer 1

Las partículas tienen posiciones dadas por

X_{1} = tu t X_{2} = \frac{1}{2} a t^{2}

$x_1=ut \\ x_2=\frac{1}{2}at^2$ el primero para velocidad constante y el otro para aceleración constante. Para encontrar el tiempo transcurrido cuando ambos están en la misma ubicación , puede configurar

x_{1} = x_{2}

$x_1=x_2$ que dará un tiempo

t = \frac{2 tu}{a}

$t=\frac{2u}{a}$ donde ambos objetos coinciden.

Pero (como se ha señalado en los comentarios de John Rennie y de usted mismo) si estuviera en el marco de la primera partícula, mirando la segunda partícula (acelerada), se alejará inicialmente, luego, después de un tiempo. $\frac{t}{2}$ se detiene momentáneamente (en cuyo punto ambas partículas tienen la misma velocidad), y luego comienza a moverse hacia la primera. Es decir, a mitad de camino

\frac{1}{2} \frac{2 tu}{a} = \frac{tu}{a}

$\frac{1}{2}\frac{2u}{a}=\frac{u}{a}$ es el tiempo donde la distancia entre los dos es mayor.

Esto también corresponde a

X = (\frac{{tu}^{2}}{a} - \frac{{tu}^{2}}{2 a}) = \frac{{tu}^{2}}{2 a}

$x=\left(\frac{u^2}{a}-\frac{u^2}{2a}\right)=\frac{u^2}{2a}$ de la ecuacion

X = tu t - \frac{1}{2} a t^{2}

$x=ut-\frac{1}{2}at^2$ Establecer la derivada de esta ecuación igual a cero da el mismo valor para

t (= \frac{u}{a})

$t(=\frac{u}{a})$ . Tenga en cuenta que

v = \frac{d X}{d t} = tu - a t

$v=\frac{dx}{dt}=u-at$ y así poner eso igual a cero corresponde al mismo tiempo. Así que no es en absoluto una coincidencia.

ACB · Answer 2

Usando un $v-t$ gráfico siempre es útil.

Aquí, la línea negra es la velocidad de la partícula con velocidad uniforme (1) y la línea roja es la velocidad de la partícula que se mueve con aceleración uniforme (2).

Como saben, el área de $v-t$ gráfico da el desplazamiento. Si ambas partículas comienzan en el mismo punto, después de un tiempo $t_1$ , cuando las velocidades de ambas partículas se igualan, la primera partícula está por delante de la segunda partícula por la distancia representada por el área azul. Después, la segunda partícula comienza la persecución. y en el momento $t_2$ , es capaz de cubrir el hueco inicial, por lo que se reencuentran.

Por lo tanto hasta $t_1$ aumentan la brecha y luego hasta $t_2$ disminuyen la brecha. Así, en el momento en que las dos partículas tienen la misma velocidad, existe el espacio máximo.

soham patil · Answer 3

No, no es una coincidencia en absoluto, ya que sabemos que para $\vert x_2-x_1 \vert$ ser como maximo $\frac{d}{dt}\vert x_2-x_1 \vert=0$ usando el teorema del extremo que básicamente dice $\vert v_2-v_1 \vert=0$ usará esta propiedad varias veces para resolver el problema de que la separación máxima ocurre cuando la velocidad relativa es $0$ .

La mayor distancia entre una partícula que se mueve con velocidad constante y una partícula que se mueve con aceleración constante

Prajwal Tiwari

Juan Rennie

PM 2 Anillo

Prajwal Tiwari

Juan Rennie

Cristóbol Policronópolis

Respuestas (3)

jose h

ACB

soham patil

¿Podemos usar el movimiento relativo si la aceleración de dos cuerpos es diferente?

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