Permítanme primero pasar por esto sin fricción ni arrastre de aire.

Tu dices$v_y$a lo largo de$x$-eje y el tren se mueve con$v_x$a lo largo de$z$-eje. Esto es un poco inconsistente. Usaré las velocidades, pero no su descripción de los ejes. Entonces el tren se mueve en el$x$-dirección, la pelota es lanzada en el$y$-dirección y es el$z$-la dirección es arriba-abajo.

del tren

Desde el observador en el tren, la pelota se moverá con una constante$v_y$lejos del tren. No hay nada que lo frene. Además, no hay$v_x$componente en el movimiento de la pelota en relación con el tren . Entonces, el hombre en el tren verá la pelota justo en frente de él, volando más lejos y comenzando a caer con$v_z = - g t$. Habrá una trayectoria curva, una parábola en el$y$-$z$-plano, el plano al que se desplaza perpendicularmente el tren.

Eso se ve así:

Puedes escribir esto con vectores así, con$g$siendo la aceleración de la gravedad:

$$\vec v(t) = v_y \, \hat y - g t \, \hat z = \begin{pmatrix} 0 \\ v_y \\ - gt \end{pmatrix}$$

Luego puedes integrar esto nuevamente con respecto a$t$y conseguir el puesto$\vec r$de tu pelota. Establecí todas las constantes de integración en 0 para simplificar esto. En principio, permiten cualquier punto de partida. Asumiré que el punto de partida es el origen del sistema de coordenadas. Entonces la trayectoria es:

$$\vec r(t) = v_y t \, \hat y - \frac12 g t^2 \, \hat z = \begin{pmatrix} 0 \\ v_y t \\ - 0.5 gt^2 \end{pmatrix}$$

Desde el suelo

Si eres un observador tal que el tren se mueve con respecto a ti, verás que la pelota se mueve con una velocidad constante en$x$y$y$, sino también verlo empezar a caer. Entonces ves una parábola en un plano que es transversal a los ejes.

Hice otra imagen, estás mirando el frente del tren, solo un poco torcido para ver los ejes 3D:

Las velocidades son similares, excepto que también debes incluir el movimiento del tren. La pelota tiene el mismo$v_x$como tiene el tren. Entonces esto es

$$\vec v(t) = v_x \, \hat x + v_y \, \hat y - g t \, \hat z = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ - gt \end{pmatrix}$$

Después de la integración, esto es:

$$\vec r(t) = v_x t \, \hat x + v_y t \, \hat y - \frac12 g t^2 \, \hat z = \begin{pmatrix} v_x t \\ v_y t \\ - 0.5 gt^2 \end{pmatrix}$$

transformación de galileo

Alternativamente, podría aplicarle una transformación de Galilei. Trataré de ser pedante ya que las transformaciones de los sistemas de coordenadas son difíciles de hacer bien. Acabo de hacer meses de relatividad general, así que sé lo difícil que es esto :-)

Que el sistema del tren sea sistema$\Sigma$donde estan las coordenadas$\vec r$y$\vec v$. El sistema en tierra será$\tilde \Sigma$donde estan las coordenadas$\tilde{\vec r}$y$\tilde{\vec v}$.

Así que ya teníamos lo siguiente para el tren (sin$\tilde{}$):

$$\vec r(t) = v_y t \, \hat y - \frac12 g t^2 \, \hat z = \begin{pmatrix} 0 \\ v_y t \\ - 0.5 gt^2 \end{pmatrix}$$

Ahora la transformación del tren al suelo es la siguiente:$v_x \to \tilde v_x = v_x + v_\text{Train}$. Todas las demás velocidades no cambian. Cuando esto se integre, los puntos espaciales se transformarán con$r_x \to \tilde r_x = r_x + v_\text{Train} t$.

Con esa transformación, podemos obtener la trayectoria vista desde$\tilde\Sigma$, el terreno:

$$\tilde{\vec r}(t) = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ v_y t \\ - 0.5 gt^2 \end{pmatrix}}_{\vec r(t)} + \begin{pmatrix} v_\text{Train} t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Dijiste que el tren se movía con$v_x$, entonces podemos escribir$v_\text{Train} = v_x$y obten

$$\tilde{\vec r}(t) = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ v_y t \\ - 0.5 gt^2 \end{pmatrix}}_{\vec r(t)} + \begin{pmatrix} v_x t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x t \\ v_y t \\ - 0.5 gt^2 \end{pmatrix}$$ que ya teníamos antes.

La resistencia del aire

La resistencia del aire hará que la pelota disminuya la velocidad en cada una de sus velocidades, doblando la curva aún más.

imagen desde arriba

Si miras desde arriba, esto es lo mismo que ignorar la gravedad. Se parece a esto:

Instantáneas de tiempo

Cuando esté en el tren, verá que los rieles se mueven debajo de usted y la pelota simplemente se moverá en su $y$-dirección:

Cuando estés afuera, verás el tren en movimiento. La pelota siempre estará frente a la persona que la lanzó. Por lo tanto, se moverá en una línea diagonal. ¡Sin embargo, esa línea es recta!

Suponiendo que el tren es un marco de referencia inercial (sin aceleración) y si ignoramos tanto la fricción del aire como los efectos de la gravedad, entonces la pelota se moverá en línea recta alejándose de usted a la misma velocidad a la que la lanzó. hasta que alguna otra fuerza actúe sobre la pelota. Esta situación sería similar a una en la que lanzas la pelota mientras estás parado.

Si alguien estuviera parado junto a las vías del tren en el lugar donde soltaste la pelota, también vería que la pelota se movía en línea recta; sin embargo, vería que la pelota se movía con la velocidad en la dirección z sumada a la velocidad en la dirección x. Para entender cómo se suman estos vectores, solo mira esta imagen a continuación:

Vg es lo que observaría la persona que flota al lado del tren.

Esta pregunta es ilustrativa de la primera ley de Newton.

Permítame que sea preciso acerca de las convenciones, porque sus notaciones no son convencionales. El sufijo en una cantidad vectorial siempre representa el componente a lo largo de una dirección específica, componente de velocidad$v$a lo largo del eje x se denota por$v_x.$Sin embargo, su pregunta es precisa independientemente de las convenciones utilizadas.

Información sobre su problema

Has precisado que ignoras los efectos de la gravedad.
Incluso si arrojas la pelota fuera del tren en dirección perpendicular en algún momento específico, no parecerá ser perpendicular a ti cuando la observes desde el tren, pero para un observador externo, será perpendicular al tren que Se esta moviendo. Tanto para usted como para el observador externo, la pelota tomará una línea recta siempre que no se acelere.
Siempre tenga en cuenta que la trayectoria de la curva generalmente ocurre en la condición en que la velocidad y la aceleración actúan sobre una bola en forma perpendicular. En tu pregunta, ocurre en dos casos.

1. cuando la velocidad inicial impuesta sobre el cuerpo está sujeta a la aceleración en la dirección perpendicular, es decir, si das$v_y$a lo largo del eje x y hay una aceleración actuando, digamos$a_x$a lo largo del eje z, según sus convenciones, entonces habría una trayectoria curva tanto para usted como para el observador externo.

2. cuando la pelota se impone con una aceleración$a_y$a lo largo del eje x (según sus convenciones), la pelota tendría una trayectoria curva solo para usted, pero para el observador externo estaría en línea recta pero tendría aceleración.