¿La masa unida sube o baja en la paradoja del resorte?

Echa un vistazo a este vídeo .

Muestra que cuando 2 resortes en serie se transforman en 2 resortes en paralelo, la masa unida aumenta. Pero estoy interesado en lo que sucede en esa fracción de segundo después de cortar el cordón azul pero antes de que las cuerdas verde y roja se tensen (es decir, cuando los resortes están tirando de sus respectivas cuerdas pero estas últimas aún están flojas). ¿La masa adjunta aumenta durante ese tiempo? ¿Abajo? ¿O tal vez depende de los resortes reales utilizados (su fuerza de tracción o algo así)?

Respuestas (6)

Resumen

No sabemos si el peso colgante tendrá un instante de bajar o no.

Depende de la constante de masa y resorte del resorte inferior y de la masa del peso colgante.

Lógica

Cortamos la cuerda. Hay fuerza gravitacional sobre el peso. Los resortes comienzan a contraerse rápidamente y se contraen hasta que las cuerdas se tensan. (La respuesta de John Hunter asume que la masa tiene que descender para tensar las cuerdas, pero los resortes que se contraen hacen la mayor parte del movimiento para tensar las cuerdas).

Suponga que las cuerdas no tienen masa.

Después de cortar, pero antes de las cuerdas tensas, el [resorte inferior / peso colgante] es un sistema libre que no se ve afectado por el resorte superior o las cuerdas sueltas sin peso. Consideremos este sistema durante ese tiempo:

El sistema en su conjunto solo recibe la acción de la gravedad, por lo que, como se menciona en alephzero, caerá: su centro de masa acelerará hacia abajo en F / M = g, la aceleración de la gravedad, donde M = m_spr + m_hw (resorte y peso colgante ).

Además de eso, el resorte (que tiene masa) se contraerá. Como dijo alephzero, si el peso colgante tiene una masa mucho más alta que el resorte inferior, la masa disminuirá a medida que este sistema caiga (hasta que las cuerdas estén tensas).

Pero, ¿y si el resorte no tiene una masa despreciable en comparación con el peso que cuelga? Hay casos en los que la constante del resorte y/o la masa del resorte son lo suficientemente altas como para que la masa nunca (ni siquiera instantáneamente) tenga una aceleración de velocidad hacia abajo. El resorte se contrae con suficiente fuerza de inercia que su fuerza instantánea sobre el peso es mayor que m_hw g.

Para estar seguro de que existen tales casos, tome un caso extremo en el que la masa del peso colgante sea insignificante en comparación con la masa del resorte y la constante del resorte sea alta. El resorte comenzará a caer por su propio peso mientras se contrae rápidamente alrededor de su centro y su extremo inferior subirá (por lo tanto, el peso colgante lo hará)

Esta parece ser la respuesta más completa. Me alegro de que hayas decidido escribirlo después de todo. :) Solo para extenderlo aún más, suponiendo que las cuerdas tengan masa (pero una densidad más baja que el resorte o el peso colgante), la cuerda verde afecta el sistema [resorte inferior / peso colgante] y en realidad ralentiza su caída (aunque levemente)?
Gracias. La densidad no es el parámetro principal porque tienen diferente grosor/tamaño/forma. Sí, supongo que tendríamos que considerar una porción muy pequeña de la cadena. No todo porque está suelto. Si la cuerda estuviera colgando del peso, simplemente contaríamos toda su masa como agregada. Ese es un problema extremadamente complejo con fuerzas de deformación en la cuerda (no se dobla, lo que no requiere fuerza cero). Al principio, podemos pensar en él como una J conectada al resorte y el peso que soporta el resorte es igual al extremo corto de la J. Si las cosas suceden lo suficientemente rápido, eso es lo suficientemente bueno.
Sin embargo, desearía haber sido un poco menos desagradable al respecto. Comentando en todas partes sobre quién estaba equivocado, y eliminando y volviendo a comentar. ¿Por qué solo esta pregunta me tiene tan obsesionado? No tengo idea. Lmao esos debates de ingeniería ... ¡cuidado! Probablemente estoy tomando este medicamento de mierda por otros dos días. (Tmi😉)
@ANPS Esto no parece correcto, se dijo "La respuesta de John Hunter asume que la masa tiene que descender para tensar las cuerdas, pero los resortes que se contraen hacen la mayor parte del movimiento para tensar las cuerdas", pero si ese fuera el caso, el los resortes contraídos proporcionan menos fuerza para soportar el peso (el resorte extendido previamente equilibraba el peso), por lo que el peso caería brevemente.
@Al Brown, PD: no se preocupe, ¡una buena pregunta tiene una forma de obsesionar a la gente!
@Johnhunter pero piensa en el último párrafo, el caso extremo. El momento se corta, el resorte inferior y el peso colgante no se ven afectados por nada excepto entre sí y por la gravedad. Son un sistema gratuito. Sí, el centro de masa de ese sistema caerá. Pero si el peso colgante es ligero, el resorte se comprime más rápido en relación con la caída.
@Al Brown El peso colgante era lo suficientemente pesado como para estirar el resorte en primer lugar, lo que provocó una fuerza ascendente para sostenerlo, necesitaba cierta cantidad de extensión en el resorte para soportar su peso, cuando el resorte comienza a contraerse, eso la fuerza ascendente se reduce y no habrá suficiente fuerza ascendente para soportar el peso, por lo que el peso disminuye. (¡Es hora de un descanso, discutiremos más mañana!)
De acuerdo. Que tengas un buen dia. Cualquier peso, por pequeño que sea, estirará un poco cualquier resorte. Así que para esa parte del problema está bien. El peso colgante aún puede ser lo suficientemente pequeño como para que el resorte se pueda contraer lo suficientemente rápido como para que el peso se mueva hacia arriba. También podríamos suponer una constante de resorte muy alta en lugar de una masa de resorte alta para el caso extremo (que es solo para mostrarle a los escépticos que hay casos). Supongamos que hay un resorte que cuelga del techo con peso sobre él. Ahora córtalo del techo. El sistema cae pero el resorte se contrae (si el resorte es liviano se contrae solo hacia el peso, pero no es liviano)

Considere el resorte inferior y la masa como un solo sistema.

Cuando se corta la cuerda azul, hay una fuerza externa neta en el resorte inferior + masa igual a su peso. Por lo tanto, el centro de masa del resorte + masa inferior comenzará a moverse hacia abajo con aceleración gramo .

Sin embargo, también hay fuerzas internas en el resorte que ya no están equilibradas por la fuerza de la cuerda azul.

Suponiendo que la masa del resorte es pequeña en comparación con el peso, esto hará que la parte superior del resorte se mueva hacia abajo con una aceleración mucho mayor que gramo , y la masa para moverse hacia abajo con una aceleración ligeramente menor que gramo .

De manera similar, la parte inferior del resorte superior se moverá hacia arriba, con una aceleración mucho mayor que gramo .

Cuando las cuerdas verde y/o roja se tensan, la situación cambia debido a la tensión en esas cuerdas.

En el experimento donde se corta la cuerda azul, todo esto sucede tan rápido que no puedes ver el pequeño movimiento del peso hacia abajo antes de que comience a moverse hacia arriba. Un video de alta velocidad lo mostraría, si también hubiera una escala vertical fija visible para medir la posición del peso con precisión.

Sí, eso es exactamente correcto. Respondí agregando un análisis cualitativo del caso donde la masa del resorte inferior no es despreciable en comparación con la masa del peso colgante... el resorte podría pesar mucho más que la masa y la masa solo subirá
@AlBrown Pero si la masa del resorte no es despreciable, la tensión en el resorte no es uniforme y un análisis adecuado es más complicado. El caso límite de un resorte pesado sin masa añadida en la parte inferior sería un buen punto de partida. Esto se vuelve interesante porque la extensión inicial del resorte y su aceleración después de cortar la cuerda dependen de la masa y la rigidez del resorte.

Es una buena pregunta.

La respuesta parece estar relacionada con lo que sucede entre los 55 y 56 segundos del video.

A los 55 segundos, muestra la cadena roja como la imagen de la izquierda a continuación.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Pero, sorprendentemente, la cuerda es solo unos 0,5 cm más larga que la imagen de la derecha; puede probar esto usando un trozo de cuerda de unos 30 cm de largo.

Entonces, el peso cae, pero solo unos 0,5 cm hasta que la cuerda se tensa y hace rebotar el peso hacia arriba.

El video no lo muestra (parece que solo es posible detenerlo en intervalos de 1 segundo), pero ¿cuánto tiempo tomaría?

Usando la ecuación de movimiento

s = gramo t 2 2
dónde s es la distancia de caída de 0,5 cm da un tiempo de 0.03 segundos, y el video simplemente no lo muestra, ni siquiera cuadro por cuadro.

Cuando se corta el cordón azul, suceden varias cosas muy rápidamente. En el instante en que se corta la cuerda azul, los dos resortes en serie se descargan y se contraen rápidamente hasta que las cuerdas roja y verde se tensan. En ese punto, los resortes se vuelven a cargar y su tasa de contracción cambiaría de manera complicada según lo que haga el peso.

Mientras los resortes se contraen y antes de que las cuerdas roja y azul se tensen, el peso cae libremente, por lo que se mueve hacia abajo bajo la aceleración de la gravedad. Cuando las cuerdas roja y azul se tensan, los resortes "atrapan" el peso que cae. Debido a que el intervalo de tiempo para esta captura es tan corto, el peso tiene una velocidad descendente muy baja, y esta velocidad aún debe detenerse e invertirse para jalar el peso hacia arriba. Debido a que el peso tiene inercia, esto significa que, por un instante, la contracción hacia arriba de los resortes se invierte en una cantidad muy pequeña. Después de ese instante, los dos resortes seguirán contrayéndose hacia arriba a un ritmo algo más lento que cuando el peso estaba en caída libre.

Tenga en cuenta que se necesitaría un video de alta velocidad (por ejemplo, 100 000 cuadros por segundo) para observar estos cambios en las cuerdas, los resortes y el peso, por lo que estos cambios no se pueden observar en el video publicado.

Respondí agregando un análisis cualitativo del caso donde la masa del resorte inferior no es despreciable en comparación con la masa del peso colgante... el resorte podría pesar mucho más que la masa y la masa solo aumentará. (Considere el caso en el que la masa del peso colgante es insignificante en comparación con la masa del resorte para ver esto)
@AlBrown, respondí en base a lo que observé en el video.
Buen punto David. Claramente los resortes eran ligeros en el video.

Esta es una excelente pregunta, y su verdadera respuesta tiene que ver con cómo se contraen los resortes.

De hecho, para responder a esta pregunta, no podemos pensar en los resortes de manera idealizada, debemos considerar que los resortes son objetos extensos con masa y tensión . Como tal, cuando se corta la cuerda azul, la relajación de los resortes se produce en forma de una onda de choque de relajación que tarda en viajar de un extremo al otro del resorte.. Esta onda de choque de relajación tiene la propiedad de que las espiras de resorte situadas delante de ella quedan perfectamente tensadas hasta que son alcanzadas por el frente de choque. Para estas partes del resorte es como si la cuerda no hubiera sido cortada en absoluto. Cuando el frente de choque pasa por una bobina de resorte, se relaja por completo, convirtiendo su energía de tensión en energía cinética. Una vez que está completamente relajado, se mueve a velocidad constante junto con el resto de las bobinas de resorte ya relajadas. El proceso se parece un poco a esto:

\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/ fully extended, no movement
\/\/\/\/\/\/\/\/\/V
\/\/\/\/\/\/\/\/VV   relaxation shock wave traveling left
\/\/\/\/\/\/\/VVV
\/\/\/\/\/\/VVVV
\/\/\/\/\/VVVVV
\/\/\/\/VVVVVV
\/\/\/VVVVVVV
\/\/VVVVVVVV
\/VVVVVVVVV
VVVVVVVVVV          fully relaxed, moving left
NVVVVVVVV
NNVVVVVV            compression shock wave traveling right
NNNVVVV
NNNNVV
NNNNN               fully compressed, not moving

La idea clave es que mientras los resortes se relajan y se acortan, el otro extremo de los resortes permanece completamente ignorante de la ola de relajación que se acerca . La consecuencia es que las cuerdas largas se tensan antes de que el peso en el otro extremo del resorte inferior se dé cuenta de lo que está pasando .

Con esta información, ahora podemos describir completamente lo que sucederá:

  1. Cuando se corta la cuerda, el peso queda suspendido debajo del resorte inferior.

  2. A medida que la onda de choque de relajación sube por el resorte superior, la cuerda roja se tensa. La fuerza añadida a lo largo de la cuerda roja hace que el peso se acelere hacia arriba.

  3. El inicio repentino de la fuerza de las cuerdas roja y verde provoca que una segunda onda de choque comience a viajar a través de los resortes. Esta vez, la onda de choque detiene el movimiento de los resortes, convirtiendo su energía cinética nuevamente en tensión.

  4. En cada resorte, una ola de una porción relajada se mueve hacia los extremos exteriores, ambas cuerdas se tensan con suficiente tensión para sostener el peso por sí mismas, y el peso acelera hacia arriba en 1 gramo .

  5. Las ondas de choque de relajación golpean los extremos de los resortes y se reflejan, convirtiéndose en ondas de choque de compresión en el proceso.

  6. Mientras que la onda de choque de compresión sube por el resorte inferior y la siguiente onda de tensión no ha alcanzado su extremo inferior, el resorte inferior empuja el peso hacia abajo. Esto cancela la fuerza de la cuerda roja, haciendo que el peso entre en caída libre.

  7. La onda de choque de tensión que sigue rápidamente restaura la fuerza sobre el peso, lo que le permite continuar su aceleración hacia arriba.

  8. A medida que las olas suben y bajan por los resortes, se vuelven menos agudas y disipan su exceso de energía, lo que hace que los resortes se tensen más suavemente. Al mismo tiempo, el peso entra en oscilación alrededor de su posición final.

  9. Todas estas oscilaciones disipan su energía restante y se extinguen hasta que el sistema entra en su nuevo equilibrio.

TL; DR:
debido al retraso de la señal sobre el cable cortado a lo largo del resorte inferior, el peso primero recibe la señal de la cuerda roja enseñada y comienza su movimiento acelerando hacia arriba.

¡Foto increíble! :D Pero de todos modos, no estoy seguro de haberte entendido correctamente. ¿Estás diciendo que es imposible (en cualquier caso) que la masa colgante comience a moverse hacia abajo inmediatamente después de que se corte la cuerda azul?
@NPS Sí. La cuerda roja comienza a tirar del peso hacia arriba antes de que el extremo inferior del resorte inferior libere su fuerza sobre el peso. A menos que cambie el material de las cuerdas de tal manera que retrasen la onda de tensión más de lo que los resortes retrasan la onda de relajación, la primera aceleración del peso es hacia arriba.
Puedo estar muy lejos de aquí, pero no estoy seguro de que eso sea cierto. Si tuviéramos un solo resorte unido en la parte superior y estirado solo por la gravedad y luego se soltara el extremo superior, entonces quizás el extremo inferior permanecería en el mismo lugar hasta que el resorte se relajara por completo. Pero si hay una masa unida al extremo inferior del resorte, ¿no tiraría esa masa hacia abajo (antes de que las cuerdas se tensaran)?
@NPS El punto es que la aceleración de la masa de los resortes proporciona la fuerza de reacción que mantiene la parte inferior del resorte en tensión. Sé que esto suena un poco poco intuitivo, pero así es como funcionan las cosas. Como analogía, piense en el aire dentro de un tubo estrecho de 300 m de largo que está enrollado. Actúa como un resorte largo bajo compresión (presión de aire). Ahora, si habla por un extremo del tubo, escuchará que sus palabras salen por el otro extremo con un retraso de un segundo. Lo mismo sucede si de repente conecta un extremo a una cámara de vacío: toma un segundo antes de que se escuche el BANG en el otro extremo.

En el video muestra lo que sucede cuando suelta la cuerda azul lentamente. Puedes ver que hasta que las cuerdas roja y verde se tensan, los resortes todavía están en serie y el peso disminuye.

Creo que es una situación diferente ya que aquí los resortes todavía están conectados y aún en serie, mientras que cuando cortas la cuerda azul, los resortes ya no están unidos entre sí y nada los tira de un lado hasta que sus respectivas cuerdas se tensan.
¿La masa unida sube o baja en la paradoja del resorte?
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