¿La ley de Gauss es incorrecta o es posible que ∫sE⃗ ⋅ds⃗ =0∫sE→⋅ds→=0\int_s{\vec E} \cdot d\vec{s}=0 no implique E⃗ =0E→=0 \vec E = 0?

Esta es una pregunta de Introducción a la electrodinámica de David J Griffith .

Una densidad de carga especificada σ ( θ ) = k porque ⁡ ( θ ) está pegado sobre la superficie de una capa esférica de radio R . Encuentre el potencial resultante dentro y fuera de la esfera.

La pregunta se resolvió usando polinomios de legendre y la respuesta final para el potencial dentro de la esfera fue: V ( r , θ ) = k r 3 ϵ 0 C o s θ

Esta respuesta final es confusa porque el campo eléctrico dentro de la esfera resulta depender de r y θ mientras que el campo eléctrico dentro de una capa, sin importar cuál sea la distribución de carga en el exterior, es z mi r o de la ley de Gauss.

mis dudas:

  1. ¿Por qué el campo eléctrico interior no es cero?

  2. ¿Puede la ley de Gauss explicar esto, o falla aquí?

Dado que resolver usando la integral de superficie ordinaria me dio el mismo resultado y dado que. divergencia dentro de la cáscara es z mi r o , concluí que los polinomios de legendre y la ley de gauss en forma diferencial son correctos. Entonces el problema debería ser con la forma integral de la ley de Gauss: ∫ s mi → . d s → = q ϵ 0

La respuesta que obtuve para esta duda es que "dado que las cargas están pegadas a la superficie y no distribuidas uniformemente, el campo eléctrico en el interior no tiene por qué ser cero".

Esto no es convincente porque la prueba de la ley de Gauss no espera que las cargas se muevan libremente. la presencia de una fuerza externa que mantendría las cargas en su lugar no cambia el teorema. Es decir, solo una carga q i está presente afuera

entonces ∫ s mi → i . d s → = q i norte s i d mi ϵ 0 = 0

Ahora bien, si hay más cargas, siguiendo cualquier distribución, el campo eléctrico neto mi → = mi → 1 + mi → 2 + mi → 3 + . . .

Entonces el flujo neto,

∫ s mi → . d s → = ∫ s mi → 1 . d s → + ∫ s mi → 2 . d s → + ∫ s mi → 3 . d s → + . . . = 0

¿O es posible que ∫ s mi → . d s → = 0 No implica mi → = 0 ?

Respuestas (2)

Tienes que tener cuidado aquí. La ley de Gauss siempre es cierta, pero no siempre es posible usarla para inferir el campo eléctrico. El paso decisivo es

(1) ∮ mi → ⋅ d S → = | mi → | S
que solo se cumple si el campo tiene una magnitud constante en la superficie gaussiana y es perpendicular a la superficie donde se cruza.

Así, por ejemplo, si coloca una carga fuera de una caja y calcula ∮ mi → ⋅ d S → en la superficie que delimita la caja, esta integral es 0 porque no hay carga neta encerrada, pero esto NO significa mi → = 0 dentro de la caja como (1) no se cumple: por geometría simple, el campo no tiene la misma magnitud en todos los puntos de la superficie de la caja.

En otras palabras, sí, es perfectamente posible tener 0 flujo neto ∮ mi → ⋅ d S → = 0 pero mi → ≠ 0 .

Una situación similar ocurre cuando una distribución de carga no tiene una simetría particular: se vuelve muy difícil encontrar una superficie en la que la magnitud de mi → es constante y, por lo tanto, use (1) para deducir el campo.

En tales casos, se debe recurrir al principio de superposición para los cálculos prácticos.

Tiene toda la razón al inferir su conclusión de que

∮ S mi ⋅ d A = 0

no implica que mi ( PAG ) = 0 en cualquier punto. Un contraejemplo muy simple a esto es considerar un campo eléctrico uniforme que llena todo el espacio:

mi ( PAG ) := mi 0

para un vector de campo eléctrico fijo distinto de cero mi 0 . No es difícil ver que el flujo total a través de cualquier superficie cerrada aquí debe ser cero, ya que las líneas de campo son simplemente líneas rectas infinitas en las que los vectores mi 0 vinculado a cada punto en el espacio punto a lo largo, y desde la geometría, cualquier línea recta infinita que entre en una superficie cerrada y finita debe salir de ella.

De hecho, aunque es posible que haya visto la ley de Gauss "usada" para encontrar un campo eléctrico, si mira más de cerca encontrará que en cada caso, se hace algún tipo de suposición adicional, como que la distribución de carga tiene algún tipo de simetría. y que esta simetría se transfiere al campo, y ese último punto no es trivial: considere la suma del campo de su problema favorito de la ley de Gauss con el campo anterior, es decir, imagine que su fuente de carga se encuentra en algún entorno de campo eléctrico ambiental preexistente. Esta suposición ("agitar las manos") es necesaria precisamente porque la ley de Gauss es insuficiente por sí misma.

Edita tu respuesta, se supone que debe ser ∬ s
@Electroelf No siempre necesita dos signos integrales para una integral de superficie ... se vuelve poco práctico y un poco engorroso hacer eso siempre. Entonces, ¿tendría que ser una integral de espacio-tiempo? ∫ ∫ ∫ ∫ ? ¿Qué hay de las integrales sobre espacios de dimensión infinita, siempre escribirías ∫ ∫ ∫ ⋯ ∫ ∫ ∫ ?
@Electroelf el contexto es claro ya que el diferencial es claramente el de una superficie.
@Electroelf: no puedo porque no parece que MathJax admita el símbolo adecuado aquí (comando de LaTeX "\ oiint"), que debería ser 2 signos integrales seguidos con un bucle adecuadamente alargado en el medio y yo no recuerda los trucos para falsificarlo.
@knzhou: Sí, pero creo que siempre hay excepciones especiales para los espacios comunes. como por qué usamos X , y , z para hasta 3 dimensiones en lugar de solo X 1 , X 2 , etc.? Si vamos a dar un tratamiento preferible de 1, 2 y 3 dims en un área, démoslo así en otra, y si no en la otra, tampoco en una. Hágalo "consistentemente inconsistente" si no va a hacerlo consistente, de todos modos, al menos eso apacigua mejor mis sentidos internos. Yo... no me gusta mucho ese signo de integral único ahí arriba rn
Eso es cierto, simplemente no estoy de acuerdo con la suposición de @Electroelf de que no tener un signo de integral doble es incorrecto. Eso es como decir elegir usar ( X 1 , X 2 ) en 2D está mal porque deberíamos usar ( X , y ) .
@knzhou: No dije que estuviera mal. Pero también diría que Electroelf buscaba ese símbolo porque había puesto "\oiint" que esperaba que me diera el símbolo de dos integrales, así que estaba tratando de hacerlo más parecido a lo que yo personalmente buscaba. Aprecio eso de él, pero en realidad, este mathjax suxx
¿La ley de Gauss es incorrecta o es posible que ∫sE⃗ ⋅ds⃗ =0∫sE→⋅ds→=0\int_s{\vec E} \cdot d\vec{s}=0 no implique E⃗ =0E→=0 \vec E = 0?
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