La interpretación de la masa en las teorías cuánticas de campos

Hay dos respuestas (en última instancia relacionadas).

Para la primera respuesta, simplemente olvídate de$\hbar$(pero di$c=1$), estamos haciendo una teoría de campo relativista clásica.

La primera es que puede considerar el perfil de campo alrededor de una fuente de masa estática y esféricamente simétrica$M$(necesita agregar un acoplamiento a la acción del formulario$g\, \phi J$, dónde$J$es una fuente externa, para hacer esto).

Entonces escribimos la fuente estática esféricamente simétrica como

$$J=J_0 \delta^3(r) .$$

(si no le gustan las funciones delta, puede convertirlas en un sombrero de copa o un caparazón y encontrará las mismas conclusiones a continuación, este tipo de manipulación debería ser familiar de las clases E/M)

Puedes resolver las ecuaciones de movimiento para$\phi$, usted encontrará

$$\nabla^2\phi + m^2 \phi = g J_0 \delta^3(r).$$

Esto se ve exactamente como la ecuación de Poisson, excepto con este extra$m^2$término (que aún no he llamado misa). Si lo resuelve (por ejemplo, usando las funciones de Green, o simplemente puede hacer un ansatz explícito), encontrará que la solución es

$$\phi = g J_0 \frac{e^{-m r}}{4\pi r} .$$

Este es el famoso potencial yukawa con masa$m$. Describe una fuerza con un rango$m^{-1}$, que es posible que hayas escuchado antes es la prueba irrefutable de la partícula portadora de fuerza que tiene masa (las interacciones débiles son tan débiles a distancias humanas porque$m$es tan grande)

Ahora, en este punto, todavía está justificado preguntar por qué llamamos a esta cantidad$m$, que en el análisis clásico anterior es solo una longitud inversa, una masa.

La segunda respuesta aborda esto más directamente. Viene cuando cuantificamos la teoría. Esto se discute con gran detalle en muchos libros de texto qft, pero la esencia es relativamente simple. En este punto diré$\hbar=1$, si realmente desea realizar un seguimiento de la$\hbar$dependencia se puede recuperar por análisis dimensional.

Si toma las ecuaciones de movimiento para el sistema anterior sin la fuente (tenga en cuenta que ya no estamos trabajando con sistemas estáticos):

$$-\partial_t^2\phi + \nabla^2 \phi + m^2 \phi = 0.$$

e ir al espacio de fourier

$$\tilde{\phi}(\vec{k},t)\equiv\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^3}e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi({\vec{x},t})$$

entonces encontrarás que las ecuaciones de movimiento son

$$-\partial_t^2 \tilde{\phi} +\vec{k}^2\tilde{\phi} + m^2\tilde{\phi}=0$$

Esto es solo un conjunto de osciladores armónicos, etiquetados por$\vec{k}$con frecuencia

$$\omega^2=\vec{k}^2+m^2$$

podemos pensar en$\tilde{\phi}(\vec{k},t)$por un solo valor de$k$como una sola variable cuántica que obedece a una ecuación de oscilador armónico, por lo que cuando cuantificamos estas variables tendremos una función de onda para cada valor de$\vec{k}$, cada uno de los cuales obedece a una ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico con la frecuencia anterior. Cada oscilador armónico se cuantificará y tendrá niveles de energía discretos. Estos niveles de energía son lo que llamamos 'partículas'. La idea es que para un momento dado, el campo$\phi$solo puede tener ciertos valores de energía, y la interpretación es que estos movimientos cuantificados en$\phi$, o en otras palabras paquetes discretos de energía, son partículas.

Ahora recordamos que estamos haciendo mecánica cuántica, y se supone que debemos identificar la frecuencia con la energía y el momento con la longitud de onda, usando

$$E=\omega,\quad \vec{p}=\vec{k}.$$

Así que estamos describiendo un sistema con una relación entre energía y cantidad de movimiento dada por

$$E^2=\vec{p}^2+m^2.$$

Esta es la famosa fórmula de einstein, y ahora vemos que el parámetro$m$aparece exactamente en el lugar donde aparecería la masa de una partícula. Es la energía que tiene una partícula cuando tiene$0$impulso. Entonces identificamos las excitaciones similares a partículas que descubrimos anteriormente con partículas de masa$m$.

Sin embargo, enfatizo que hay muchos, muchos, muchos otros tratamientos de esta y otras formas de verlo.

Una buena pregunta sería, ¿qué significa una partícula si no tienes una teoría libre y no obtienes una ecuación de oscilador armónico arriba?

He estado pensando en esta pregunta de vez en cuando desde que se publicó, y tengo algunos pensamientos que espero arrojen algo de luz sobre este asunto. Creo que ayuda empezar con lo siguiente:

Una analogía de la mecánica.

Considere la siguiente expresión que encontrará a menudo en la mecánica clásica:

$$L(x, \dot x) = \frac{1}{2}m\dot x^2$$ y digamos que nunca has visto la mecánica lagrangiana antes. Alguien viene y te dice que este Lagrangiano "describe" una partícula libre de masa $m$moviéndose en una dimensión. A continuación, podría hacer la pregunta "¿cómo podemos identificar el parámetro $m$que aparece en esta expresión con la masa física de una partícula?

Como responderías esta pregunta? Esto no solo pretende ser retórico, ¡creo que sería útil pensar en esto antes de seguir leyendo!

Mi proceso de pensamiento para responder a esta pregunta es el siguiente. Bueno, queremos identificar el parámetro$m$con la definición física de masa en la mecánica clásica. ¿Cómo definimos la masa operativamente en la mecánica clásica? Bueno, ejercemos una fuerza sobre la masa y vemos hasta qué punto se acelera. En otras palabras, necesitamos interactuar con la partícula y observar qué sucede para determinar su masa. A continuación, volvemos al Lagrangiano anterior. Si fuera capaz de predecir cómo reacciona una partícula a una interacción, entonces podríamos usarlo para identificar el parámetro$m$como la masa de una partícula.

Desafortunadamente, el lagrangiano de partículas libres no hace tales predicciones dinámicas. Las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes conducen a la ecuación de movimiento

$$\ddot x = 0$$ lo que no nos dice nada acerca de cómo reaccionará una partícula a una interacción.

Ahora, podría tratar de identificar$m$como la masa definiendo la energía y el momento en este modelo matemático como los generadores de las traslaciones de tiempo y espacio respectivamente y luego decir "oh mira, estas expresiones corresponden a las expresiones de energía y momento de una partícula no relativista que estamos solía, así que$m$debe ser la masa!" No creo que este argumento tenga mucho contenido o validez, porque hacer estas "definiciones" de ninguna manera permite identificar el parámetro en el Lagrangiano con la masa física definida operativamente en términos de interacciones.

Para identificar$m$como la masa, necesitamos poner términos en el Lagrangiano que correspondan a interacciones (como un término potencial), ver qué predicen las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange sobre la dinámica resultante y luego comparar con experimentos para identificar$m$como la masa.

Teoría cuántica de campos.

Usando estas analogías, me siento insatisfecho con la respuesta del usuario 20797 donde obtenemos la relación energía-momento relativista para una partícula porque, por lo que puedo decir, ese procedimiento equivale a poco más que hacer definiciones para la energía y el momento que le dan la relación que desea. . No te dice como relacionar el parámetro$m$a alguna masa empíricamente definida, y esa, creo, fue su pregunta original (bastante excelente/sutil en mi opinión). Creo que su primera respuesta probablemente esté más cerca de lo necesario.

Sin embargo, me parece que una respuesta adecuada a su pregunta requiere un análisis de la siguiente forma (esquemática) cuyos detalles (especialmente empíricamente) no son triviales.

1. Observamos que la masa de las partículas se puede definir por sus interacciones entre sí. En particular, podemos utilizar experimentos de dispersión para provocar estas interacciones.

2. Agregamos términos de interacción a la densidad lagrangiana que escribiste y desarrollamos una prescripción mediante la cual la teoría del campo cuantificado resultante puede predecir lo que sucederá en los experimentos de dispersión.

3. Comparamos los resultados de nuestros experimentos de dispersión con las predicciones de la teoría cuántica de campos y encontramos que podemos identificar el parámetro$m$en la densidad lagrangiana como la masa física tal como se definió a través de experimentos de dispersión.

El concepto de masa está relacionado con el 4-momentum o la densidad de 4-momentum. No es solo un "término cuadrático" en el Lagrangiano.

Variando el Lagrangiano se pueden obtener las ecuaciones de movimiento. Pero el momento, o la densidad del momento, deben definirse independientemente del Lagrangiano, para permitir introducir el concepto de masa o densidad de masa.

Por ejemplo, el impulso se puede definir como la suma de dos 4 vectores isotrópicos construidos a partir de espinor y coespinor:

$\xi = \begin{vmatrix} \xi^1 \\ \xi^2 \end{vmatrix}$- espinor

$\eta = \begin{vmatrix} \eta_{\dot1} \\ \eta_{\dot2} \end{vmatrix}$- co-espinor

$p_\mu = \frac{1}{2} (\xi^{+}\sigma_\mu \xi)$- vector covariante

$\tilde p^\mu = \frac{1}{2} (\eta^{+}\tilde\sigma^\mu \eta)$- vector contravariante

El vector construido a partir del espinor es covariante, mientras que el vector construido a partir del coespinor es contravariante. Esto se debe a las diferentes propiedades de transformación de spinor y co-spinor. Ambas cosas$p_\mu$y$\tilde p^\mu$son isotrópicos (es decir$p_\mu p^\mu =\tilde p_\mu \tilde p^\mu =0$), pero su suma no es isotrópica:

$P_\mu = p_\mu +g_{\mu\nu}\tilde p^\nu$- momento o densidad de momento - según el modelo.

Por lo tanto, la masa, o densidad de masa, se define como el "cuadrado" del vector de cantidad de movimiento (densidad):

$m^2=P_\mu P^\mu$

En general, esta definición de masa es independiente de la elección del Lagrangiano.

Sin embargo, el impulso y/o la densidad del impulso no se pueden definir arbitrariamente. Debe definirse de tal manera que

1. El momento total se conserva (como consecuencia de las ecuaciones de movimiento),
2. Los componentes del cuadrivector de cantidad de movimiento son todos de valor real, y
3. El vector de impulso 4 es similar al tiempo para preservar la causalidad.

En general, necesitamos dos ingredientes para decir que la masa en nuestro modelo es realmente una masa:

1. Lagrangiana, o al menos ecuaciones de movimiento, y
2. Definición adecuada de cantidad de movimiento o densidad de cantidad de movimiento (véanse las condiciones 2 y 3 anteriores).

Se requiere que la conservación de la cantidad de movimiento sea la consecuencia de las ecuaciones de movimiento (¡excepto en la Teoría de la gravedad donde la conservación de la cantidad de movimiento es una identidad!).

También es fácil demostrar que no necesariamente necesitamos el término “cuadrático” y/o de masa constante en el Lagrangiano para introducir el concepto de masa. Aquí puede encontrar un ejemplo del modelo donde el "término de masa" tiene un valor variable y complejo, pero aún permite un "cuadrado de masa" de valor real del vector de densidad de momento.