¿La fuerza de Lorentz es un campo vectorial o simplemente un vector?

@rushinc1 casi lo tiene.

Lamentablemente, la fuerza de Lorentz no es un campo vectorial en el sentido normal (es decir, un mapeo suave desde$(\vec r: \mathbb R^3, t : \mathbb R) \to \mathbb R^3$), como se puede ver por la presencia explícita de$\vec v$en su definición: necesita saber la velocidad de la partícula para calcular la fuerza magnética sobre ella, y esa información no está contenida simplemente en esta información sobre dónde y cuándo se evalúa la fuerza de Lorentz.

Lamentablemente, tampoco es un campo de 2 tensores en el sentido normal, ya que su transformación de un vector de velocidad no es lineal en ese vector de velocidad (es una especie de transformación afín porque el$\vec E$parte es una especie de constante fija).

Sin embargo, en la relatividad especial se convierte en un campo antisimétrico de 2 tensores en el espacio de 4 vectores; la presencia del componente de tiempo adicional en el vector de velocidad 4 le da al tensor un lugar perfecto para inyectar el$\vec E$campo junto a la$\vec B$campo. Obtienes el tensor 2 antisimétrico$\partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha$(dónde$A^\mu$es el potencial de 4 vectores estándar) como una transformación perfectamente lineal de una velocidad de cuatro$U^\mu$a una fuerza de cuatro$dp^\nu/d\tau,$por lo que es un claro 2-tensor.

Luego, en la relatividad general, esto nuevamente se vuelve un poco más complicado ya que hay muchas conexiones.$\partial_\alpha$para elegir, cuando los aplicamos a vectores, pero el punto es que, en un sentido genérico, cualquier cosa que se pueda hacer a partir de 4 operadores bien definidos puede ser un 4-tensor.

Matemáticamente, un campo vectorial es una función vectorial de coordenadas de espacio-tiempo únicamente. Esto hace que podamos hablar sobre la fuente de una fuerza independientemente del objeto sobre el que actúa.

Para describir la fuerza de Lorentz en una partícula individual (es decir, "de prueba"), necesita saber tanto su posición como su velocidad (así como su carga, por supuesto). No puede dividir la fuerza por una unidad ("prueba") de velocidad, porque la velocidad en sí misma es un vector. En el mejor de los casos, supongo que uno podría establecer un campo tensorial de Lorentz para cumplir un propósito similar, pero tratar de describir la fuerza de Lorentz a través de un campo vectorial no tiene sentido.

Ahora, dicho esto, si tiene una colección de partículas (como un fluido) que llenan todo el espacio y puede asignar un vector de velocidad a cada punto en el espacio en cada momento, entonces puede generar algo como un campo vectorial de Lorentz. Sin embargo, esto es más un truco de ingeniería para resolver problemas de dinámica de fluidos y personalmente no lo consideraría un campo vectorial en el mismo sentido que la gravedad o el campo electromagnético.

En el electromagnetismo clásico, la fuerza de Lorentz es solo un vector y NO un campo vectorial. Sin embargo, puede definirse como un campo tensorial y eso es exactamente lo que usó al tratar con el electromagnetismo relativista.

Un campo vectorial es una función que asigna un$n$vector dimensional a cada punto en un$n$espacio dimensional. La fuerza de Lorentz no se puede definir mediante un campo de este tipo, ya que necesitamos información sobre dos $n$vectores dimensionales ($\mathbf{E}$y$\mathbf{B}$) para una descripción completa de la fuerza.

Cuando también se consideran los efectos relativistas, la fuerza de Lorentz se puede definir únicamente mediante la ecuación

Aquí$F^{\alpha\beta}$es el tensor electromagnético que puede considerarse equivalente a una especie de "campo de Lorentz" .