¿Por qué el campo magnético no está definido por la fuerza magnética sobre una partícula que se mueve a través de él?

Para inventar una situación concreta, considere un imán de herradura y una carga que se mueve entre los polos.

Cuando mides la fuerza$\vec{F}$actuando sobre una carga$q$moviéndose a través de este campo magnético con varias velocidades$\vec{v}$(por ejemplo, en$+x$,$-x$,$+y$,$-y$,$+z$,$-z$dirección), entonces obtienes los siguientes resultados experimentales . Nótese especialmente el$+$y$-$señales.

$$\begin{array}{|ccc|ccc|} \hline v_x & v_y & v_z & F_x & F_y & F_z \\ \hline +v & 0 & 0 & 0 & -qvB & 0 \\ -v & 0 & 0 & 0 & +qvB & 0 \\ 0 & +v & 0 & +qvB & 0 & 0 \\ 0 & -v & 0 & -qvB & 0 & 0 \\ 0 & 0 & +v & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -v & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Todos estos resultados anteriores se pueden resumir así:

$$\begin{align} F_x &= +qv_yB \\ F_y &= -qv_xB \\ F_z &= 0 \end{align}$$

Tenga en cuenta que, hasta ahora, todavía no hicimos ninguna declaración sobre cómo definir la dirección del campo magnético.$\vec{B}$.

Así que mi pregunta es: ¿por qué no definimos simplemente nuestro campo magnético como el campo vectorial que es la dirección (y magnitud) de la fuerza magnética que experimenta una partícula en un lugar determinado?

Mirando los resultados anteriores, simplemente no hay forma de hacer esto. No puedes crear un vector de campo magnético$\vec{B}$teniendo siempre la misma dirección que la fuerza$\vec{F}$.

Lo mejor que puedes lograr es reescribir lo anterior con la ayuda del producto cruz .

$$\begin{pmatrix}F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} = q \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ B \end{pmatrix}$$

Así que terminaste con un vector$\vec{B}$apuntando hacia adentro$z$-dirección (es decir, perpendicular a las fuerzas$\vec{F}$).

Porque la fuerza experimentada por la partícula no depende solo de su ubicación, ya sea en magnitud o dirección.

La fuerza depende de la ubicación de la partícula y es perpendicular a su velocidad. Por lo tanto, si cambia la dirección de la velocidad, la dirección de la fuerza cambia. Pero si desea que el campo magnético se defina solo como una función de la posición, debe tener una dirección fija en cualquier punto y no puede cambiar solo porque la velocidad de la partícula ha cambiado.

Para decirlo de otra manera, su campo de fuerza magnética no podría definirse de la manera que propone porque tendría múltiples valores: en cualquier posición, las partículas pueden tener diferentes velocidades y, por lo tanto, experimentar diferentes fuerzas.

La forma correcta de definir un vector de fuerza cambiante que siempre es perpendicular a la velocidad es en términos del producto vectorial de la velocidad con otro vector fijo: el campo magnético.

Se supone que el campo magnético en un punto le permite determinar la fuerza sobre una unidad de carga en movimiento en ESE punto.

No puede definir un campo magnético en un punto "como el campo vectorial que es la dirección (y magnitud) de la fuerza magnética que experimenta una partícula en un lugar dado " porque la dirección de la fuerza depende de la carga y la vector de movimiento de la carga.

Si define el campo magnético de acuerdo con la dirección de la fuerza magnética sobre una partícula cargada en particular, eso no le daría fácilmente la respuesta de cuál sería la dirección de la fuerza sobre otra partícula cargada que se mueve en un vector diferente.

Al definirlo de la forma en que se ha definido, es más fácil determinar la dirección de la fuerza magnética en cualquier partícula cargada que se mueva en cualquier vector.

Sin embargo, una carga en movimiento experimenta una fuerza magnética que es perpendicular a la dirección de su campo magnético y velocidad. Así que mi pregunta es: ¿por qué no definimos simplemente nuestro campo magnético como el campo vectorial que es la dirección (y magnitud) de la fuerza magnética que experimenta una partícula en un lugar determinado?

Punto muy sutil.

Verá, el campo magnético 'decide' cómo empujar la partícula en función de cómo entra y qué carga tiene. Arreglemos el cargo para que sea$1C$, por lo que podemos escribir la expresión de la fuerza como:

$$\vec{F} = \vec{v} \times \vec{B}$$

Ahora, digamos que 'rotamos' nuestros vectores de base de coordenadas de tal manera que el$\vec{B}$se apunta a lo largo de uno de nuestros ejes como decir$\hat{k}$entonces:

$$\vec{F} = \vec{v} \times |B| \hat{k}$$

O,

$$\vec{F} = |B| ( \vec{v} \times \hat{k})$$

Y, podemos escribir la velocidad de esta partícula como$v= v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat{k}$, y por lo tanto la fuerza es:

$$\vec{F} = (|B|) ( -v_x \hat{j} + v_y \hat{i})$$

Ahora, vemos que la fuerza en un punto está determinada por el vector de velocidad de la propia partícula. Entonces, supongamos que la velocidad en$j$dirección era cero, entonces la partícula solo experimentaría fuerza en$i$dirección y de manera similar si la velocidad en$i$entonces la direccion era cero$j$la dirección sería la fuerza.

En última instancia, el producto vectorial es perfecto porque siempre es fácil decir lo que vemos en la vida real: la fuerza experimentada por una partícula depende de la dirección en la que se movía.

Si tuviera que bajar al punto filosófico de esto, es porque la fuerza no está determinada únicamente por la propiedad externa, sino también por cómo la propiedad interna se alinea con la propiedad externa.