¿Cuál es la potencia máxima disponible de un campo magnético?

Un campo magnético variable en el tiempo produce un campo eléctrico. en tu ejemplo$c$ $\rightarrow$ $\infty$-- Trabajaré en este límite para que podamos deshacernos de los efectos de segundo orden (es decir, la aproximación cuasiestática). La ecuación de Maxwell relevante es

$$\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}.$$

Sabemos que el campo magnético se enrollará alrededor del alambre por la regla de la mano derecha. Tomemos como ejemplo el actual$I(t)=I_0t$de modo que${\bf B}({\bf r},t)=B(r)t{\bf \hat{\phi}}$dónde$B(r)=\frac{B_0}{r}$. Entonces

$$\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}=-\frac{B_0}{r}{\bf \hat{\phi}}$$ que es constante en el tiempo. Podemos usar el teorema de Stoke para resolver ${\bf E}$: $$\int \nabla \times {\bf E} \cdot d{\bf A}=\int {\bf E} \cdot d{\bf l}=-B_0\int \frac{1}{r}\hat{\phi}\cdot d{\bf A}$$

dónde$d{\bf A}=drdz\hat{\phi}$y$d{\bf l}=dz\hat{z}$. integrando desde$r=a$a$r=b$:

$$E(a)-E(b)=-B_0\ln(b/a)$$

para que en general

$${\bf E}(r) \approx B_0\ln(r)\hat{z}.$$

Este es el campo eléctrico que realiza trabajo sobre cargas. El campo magnético no realiza trabajo sobre las cargas debido a la ley de fuerza de Lorentz. Aunque el campo magnético apunta a lo largo de las bobinas, las cargas se dirigen en pequeños círculos, lo que no provoca un flujo neto de corriente. Más simple,${\bf B} \cdot {\bf v} = 0.$

En primer lugar, a su fórmula para la densidad de energía le falta un término para el campo eléctrico:

$$w(t)=\frac{\varepsilon_0 e^2(t)}{2}+\frac{b^2(t)}{2\mu_0 }$$

Siempre tendrás un campo eléctrico si el campo magnético varía con el tiempo.

Sin embargo, esto no es tan importante para la pregunta más conceptual con la que parece estar luchando. Creo que una buena analogía para ayudarte aquí es pensar en esta energía como un depósito de agua con una entrada y una salida. El cambio en la cantidad de agua en el embalse es la entrada menos la salida. Pero el flujo a través del depósito puede ser mucho mayor que el cambio de agua en el depósito. Por ejemplo, si el flujo de entrada es igual al flujo de salida, no hay cambio en el agua del reservorio aunque haya un flujo a través del reservorio.

De manera similar, la energía electromagnética que fluye a través de una unidad de volumen puede ser mucho mayor que$dw(t)/dt$. De qué se trata en su ejemplo y cómo se podría "capturar" ese flujo de energía es una pregunta que le dejaré a otra persona.