¿Hay alguna forma de probar la ley de inducción de Faraday?

Cada prueba comienza con axiomas, cosas que simplemente se suponen en lugar de probarse. Los axiomas deberían estar motivados por su aplicabilidad a una amplia gama de fenómenos, pero en última instancia son solo axiomas. Los probamos comparando sus predicciones para experimentar. Los axiomas que se aplican a una variedad más amplia de experimentos son mejores.

Si comenzamos con la electrodinámica cuántica (que tiene una aplicabilidad muy amplia), entonces uno de los axiomas es que los componentes de los campos eléctrico y magnético están todos codificados en un solo campo de calibre . $A_a$, donde el índice$a$toma valores en$\{0,1,2,3\}$. Estos cuatro valores de índice corresponden a las cuatro dimensiones del espacio-tiempo (0 para la dimensión del tiempo y 1,2,3 para las dimensiones del espacio).

Para describir cómo se codifican los campos eléctrico y magnético en el campo de calibre, primero defina

$$F_{ab}\equiv \partial_a A_b - \partial_b A_a \tag{1}$$ dónde$\partial_a$denota la derivada parcial con respecto a la$a$-ésima coordenada en el espacio-tiempo. (El campo de calibre es una función de estas cuatro coordenadas). Esta cantidad es antisimétrica,$F_{ab}=-F_{ba}$, por lo que tiene seis componentes independientes. Los tres componentes$F_{ab}$con$b=0$son las componentes del campo electrico$E_a$y los tres componentes$F_{ab}$con$a,b\neq 0$son las componentes del campo magnetico$B_{ab}=-B_{ba}$, que generalmente se escriben con un solo índice como este: $$B_1 \equiv B_{23} \hskip2cm B_2 \equiv B_{31} \hskip2cm B_3 \equiv B_{12}. \tag{2}$$ (Observe el patrón cíclico.) Con estas identificaciones, la ecuación (1) implica la ley de Faraday. Para ver esto, primero observe que la ecuación (1) implica $$\partial_a F_{bc} + \partial_b F_{ca} + \partial_c F_{ab} = 0. \tag{3}$$ (Nuevamente, observe el patrón cíclico.) Los componentes de la ecuación (3) con todos los índices distintos de cero dicen que la divergencia del campo magnético es cero. Los componentes de la ecuación (3) con un índice igual a cero, digamos$a=0$, dar la ley de Faraday: $$\partial_0 B_{bc} + \partial_b E_{c} - \partial_c E_{b} = 0. \tag{4}$$ (Descargo de responsabilidad: no verifiqué si mis convenciones de signos para$E$y$B$son estándar, pero si no lo son, simplemente invierta todos los signos en la ecuación (2). Es solo una convención.)

También escuché que podemos probarlo usando el principio de acción mínima, ¿es eso cierto?

Formular cosas en términos del campo de calibre permite que las ecuaciones de la electrodinámica (clásica o cuántica) se expresen usando el principio de acción.