Derivación de la autoinducción de un cable largo.

Question

Derivación de la autoinducción de un cable largo.

ftiaronsem

Actualmente estoy atascado, tratando de derivar la autoinducción de un cable largo. Según la literatura debería ser

L = \frac{m_{r} m_{0} yo}{8 π}

$L=\frac{\mu_r\mu_0l}{8\pi}$

y en la literatura se deriva al observar la energía del campo magnético. Traté de derivar esta fórmula a través del flujo magnético y estoy obteniendo $4\pi$ en lugar de $8\pi$ . Estas son mis consideraciones:

   _ _
 /  |R \
|   '   | a wire with radius R and length l
 \ _ _ /

La densidad de flujo magnético $B(r)$ se da de acuerdo con la ley de Ampere:

B (r) 2 π r = m_{0} m_{r} \frac{r^{2}}{R^{2}} yo

$B(r) 2\pi r=\mu_0\mu_r\frac{r^2}{R^2}I$

B (r) = m_{0} m_{r} \frac{r}{2 π R^{2}} yo

$B(r)=\mu_0\mu_r\frac{r}{2\pi R^2}I$

donde $r$ es la distancia desde el centro del alambre, $R$ es su radio y $I$ es la corriente total a través del cable. Ahora sé que el flujo magnético $\phi$ a través de la parte superior de una sección longitudinal es

ϕ = \int_{A} B d A = \int_{0}^{R} B (r) yo d r = \frac{m_{0} m_{r} yo yo}{4 π}

$\phi = \int_A B dA = \int_0^R B(r)l dr = \frac{\mu_0\mu_rIl}{4\pi}$

donde $l$ es la longitud del cable. no, yo uso $\phi = LI$ y llegar a $4\pi$ .

¿Qué estoy haciendo mal? ¿Dónde está el error en mis consideraciones?

Además tengo el siguiente problema. Si observo una sección longitudinal completa del cable y no solo su mitad superior, el flujo magnético es cero:

   _ _
 /  |  \
|   |2r | => Magnetic flux is zero (the magnetic field 
 \ _|_ /     penetrating the upper half of the longitudinal cross section is 
             exactly opposite to the magnetic field penetrating the lower
             half)

Espero haber formulado mi problema lo suficientemente claro. Si no, por favor pídame más detalles.

david z

@ftiaronsem: no te preocupes, Georg tiene una personalidad un poco abrasiva a veces. Creo que la ambigüedad es si sus diagramas ASCII muestran una sección transversal del cable o una vista superior de un bucle de cable. Aparte de eso, su pregunta parece bastante clara, así que gracias por construir una gran pregunta de tarea ;-)

Alan Romero

Una nota divertida: "se deriva al observar la energía del campo magnético", esto me recuerda mi primer año en la universidad donde tomé las fórmulas del libro y descubrí que un cable contiene energía infinita por unidad de longitud debido al campo magnético. campo a su alrededor. Tomé varios instructores y todos estuvieron de acuerdo en que estaba libre de errores. Dijeron que la única razón por la que no era cierto era probablemente usando

B^{2}

$B^2$ para la energía del campo magnético, que probablemente solo era válida para ciertos casos de interiores de alambre enrollado. No es el mismo tipo de problema, pero no pude resistirme a compartir mi historia personal.

ftiaronsem

@Zassounotsukushi Gracias por este comentario. Traté de seguirte pero para el término de densidad de energía magnética obtengo

w = \frac{μ_{0} i^{2}}{8 π^{2} r^{2}}

$w=\frac{\mu_0i^2}{8\pi^2r^2}$ . Integrando esto en coordenadas cilíndricas de

r = a \to r = \infty

$r=a \rightarrow r=\infty$ y más

θ = 0 \to θ = 2 π

$\theta = 0 \rightarrow \theta=2\pi$ y

l = 0 \to l = 1

$l=0 \to l=1$ Obtengo algo finito. ¿Qué estoy haciendo mal? Gracias por adelantado

mmc

@ftiaronsem ¿Estás incluyendo el jacobiano?

\int_{0}^{1} d l \int_{0}^{2 π} d θ \int_{a}^{+ \infty} d r r \frac{A}{r^{2}} = 1 \cdot 2 π \cdot A \cdot {[\ln r]}_{a}^{+ \infty}

$\int_0^1 dl \int_0^{2\pi} d\theta \int_a^{+\infty} dr\,r \frac{A}{r^2} = 1 \cdot 2\pi \cdot A \cdot \left[\ln r\right]_a^{+\infty}$ , divergiendo logarítmicamente.

ftiaronsem

@mmc Uups, tienes razón, lo dejé fuera. Ahora veo. Gracias por señalar eso @Zassounotsukushi ¿Alguna vez te diste cuenta, para qué casos el

B^{2}

$B^2$ la fórmula es correcta? ¿Y cómo se calcularía la energía correctamente? Gracias.

Édgar Bonet

La energía como

B^{2}

$B^2$ es correcta, y la divergencia es la consecuencia de suposiciones no físicas: infinito cable portador de corriente en medio de la nada. Una vez que considera un camino de regreso, la divergencia desaparece. Cf Editar 2 de mi respuesta.

usuario7713

Puede encontrar la solución de esta pregunta en la página 271-272 en "Electromagnética de campo y ondas" David K.Cheng. El primer término en (6-140) es la inductancia interna calculada usando el flujo y tiene 8pi en el denominador.

Andrés Salas

@AlanSE, buena historia, de hecho, me encontré con el mismo problema. Tiene sentido ya que la inductancia de un cable infinito es infinita. Incluso para un bucle limitado, me encuentro con el mismo problema aunque:/

Andrés Salas

Y sí, esto fue publicado hace 10 mil millones de años.

lluvia

si, bueno por eso no asumes que el cable es infinito

Respuestas (4)

Derivación de la autoinducción de un cable largo.

@ftiaronsem: no te preocupes, Georg tiene una personalidad un poco abrasiva a veces. Creo que la ambigüedad es si sus diagramas ASCII muestran una sección transversal del cable o una vista superior de un bucle de cable. Aparte de eso, su pregunta parece bastante clara, así que gracias por construir una gran pregunta de tarea ;-)
Una nota divertida: "se deriva al observar la energía del campo magnético", esto me recuerda mi primer año en la universidad donde tomé las fórmulas del libro y descubrí que un cable contiene energía infinita por unidad de longitud debido al campo magnético. campo a su alrededor. Tomé varios instructores y todos estuvieron de acuerdo en que estaba libre de errores. Dijeron que la única razón por la que no era cierto era probablemente usando $B^2$ para la energía del campo magnético, que probablemente solo era válida para ciertos casos de interiores de alambre enrollado. No es el mismo tipo de problema, pero no pude resistirme a compartir mi historia personal.
@Zassounotsukushi Gracias por este comentario. Traté de seguirte pero para el término de densidad de energía magnética obtengo $w=\frac{\mu_0i^2}{8\pi^2r^2}$ . Integrando esto en coordenadas cilíndricas de $r=a \rightarrow r=\infty$ y más $\theta = 0 \rightarrow \theta=2\pi$ y $l=0 \to l=1$ Obtengo algo finito. ¿Qué estoy haciendo mal? Gracias por adelantado
@ftiaronsem ¿Estás incluyendo el jacobiano? $\int_0^1 dl \int_0^{2\pi} d\theta \int_a^{+\infty} dr\,r \frac{A}{r^2} = 1 \cdot 2\pi \cdot A \cdot \left[\ln r\right]_a^{+\infty}$ , divergiendo logarítmicamente.
@mmc Uups, tienes razón, lo dejé fuera. Ahora veo. Gracias por señalar eso @Zassounotsukushi ¿Alguna vez te diste cuenta, para qué casos el $B^2$ la fórmula es correcta? ¿Y cómo se calcularía la energía correctamente? Gracias.
La energía como $B^2$ es correcta, y la divergencia es la consecuencia de suposiciones no físicas: infinito cable portador de corriente en medio de la nada. Una vez que considera un camino de regreso, la divergencia desaparece. Cf Editar 2 de mi respuesta.
Puede encontrar la solución de esta pregunta en la página 271-272 en "Electromagnética de campo y ondas" David K.Cheng. El primer término en (6-140) es la inductancia interna calculada usando el flujo y tiene 8pi en el denominador.
@AlanSE, buena historia, de hecho, me encontré con el mismo problema. Tiene sentido ya que la inductancia de un cable infinito es infinita. Incluso para un bucle limitado, me encuentro con el mismo problema aunque:/

DK Ghosh · Answer 1

La pregunta original hablaba de una discrepancia entre el resultado obtenido al calcular el flujo directamente y usar la definición $L= \Phi/I$ . La confusión surge debido a un concepto conocido como "enlace de flujo". Cuando calculó el flujo encerrado por la región de unidad de longitud entre r y r+dr, calculó una expresión para el flujo que integró para obtener el flujo total. Sin embargo, todo el flujo calculado por usted no está "vinculado" a esta área ya que la corriente encerrada por el contorno de este radio es una fracción $\pi r^2/R^2$ de la corriente total. Por lo tanto, el flujo vinculado es $d\Phi= \dfrac{\mu_0 I r dr}{2\pi R^2} \dfrac{\pi r^2}{\pi R^2}$ . Si integras esta expresión, obtendrías el resultado correcto.

Φ = \frac{m_{0} yo}{2 π R^{4}} \int_{0}^{R} r^{3} d r = m_{0} yo / 8 π

$\Phi = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi R^4}\int_0^R r^3 dr= \mu_0 I/8\pi$ El "enlace de flujo" no es un concepto muy fácil, pero considere lo que sucede cuando tiene N vueltas de cable a través de las cuales pasa el mismo flujo. Para calcular la fem usando la ley de Faraday, necesitará N veces el flujo para obtener la fem correcta .

Gracias a esta respuesta me di cuenta de que no estaba mirando las integrales de flujo como integrales de enlace de flujo (¡estúpido!). ¡Por supuesto! Para que un campo esté bien definido, 1 a 1, solo 1 línea de flujo debe pasar por cualquier punto. Un corolario es que las líneas de flujo nunca se cruzan. En cualquier caso, para una integral de flujo correcta, ¡solo cruce cada línea de flujo una vez! Los estaba contando dos veces. Pero, ¿qué es una línea de flujo?... Quizás, una línea que sigue los desplazamientos infinitesimales dr para una unidad infinitesimal de ese campo (es decir, dm para la gravedad, dq para elec), a través de todo el espacio.
Hola, sé que esta es una publicación muy antigua, pero tenía una pregunta sobre esta solución. ¿No tuvimos ya en cuenta la fracción de la corriente total cuando calculamos el campo magnético? ¿Cuál es la razón para hacer esto dos veces?

usuario7902 · Answer 2

Sé que esta publicación es antigua y ha sido respondida. Pensé en publicar la derivación exacta para ayudar a cualquiera en el futuro.

Para calcular la inductancia interna de un cable, debemos igualar la ecuación de la energía del campo magnético a la energía del inductor/inductancia.

energía de la $B$ campo: $\frac{1}{2\mu}\int B^2dV$ , donde $B$ se integra sobre todo el espacio.

Energía de un inductor: $\frac{1}{2}LI^2$

Para resolver el campo magnético B usamos un bucle amperiano: $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu I_{enc}$
Primero, asumimos que la corriente se distribuye uniformemente por todo el cable (razón por la cual esta inductancia generalmente se desprecia; a frecuencias más altas, la corriente no es uniforme, sino que se transporta en la superficie del cable, lo que crea una resistencia más real en el cable y menos autoinducción). Con una corriente uniforme $I_{enc} = I\frac{\pi r^2}{\pi R^2}$ para r $< R$ donde $r$ es una distancia variable dentro del alambre, $R$ es el radio del cable e I es la corriente total que circula por el cable. Esta ecuación es una relación simple del área variable al área total del cable multiplicada por la corriente total dentro del cable para encontrar la corriente para cualquier cantidad variable del cable.

Ahora vuelve a conectar esto a la ecuación de Ampere.

\oint \vec{B} \cdot d \vec{yo} = m yo \frac{π r^{2}}{π R^{2}} = m yo \frac{r^{2}}{R^{2}}

$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}= μI\frac{\pi r^2}{\pi R^2} = μI\frac{ r^2}{ R^2}$ Ahora, debido a que B es independiente del bucle cerrado en sí mismo para cualquier distancia r, B se puede sacar de la integral.

B \oint d yo = m yo \frac{r^{2}}{R^{2}}

$B\oint dl=μI\frac{ r^2}{ R^2}$ La integral de lazo cerrado a lo largo de dl se puede calcular, pero para simplificar nos daremos cuenta de que el lazo es simplemente la circunferencia a cualquier distancia variable r.

B \cdot 2 π r = m yo \frac{r^{2}}{R^{2}}

$B\cdot2\pi r=μI\frac{ r^2}{ R^2}$ Resolviendo para

B = B (r) = \frac{m yo r}{2 π R^{2}}

$B = B(r) = \frac{\mu Ir}{2\pi R^2}$

B^{2} = \frac{m^{2} {yo}^{2} r^{2}}{4 π^{2} R^{4}} por r < R

$B^2 = \frac{\mu^2 I^2 r^2}{4\pi^2R^4} \quad\text{for}\quad r < R$ Lo que significa que este es solo el campo B dentro del cable

Ahora podemos igualar las dos ecuaciones de energía:

\frac{1}{2 m} \int B^{2} d V = \frac{1}{2} L {yo}^{2}

$\frac{1}{2\mu}\int B^2 dV = \frac{1}{2} LI^2$ enchufando para

B^{2}

$B^2$ que resolvimos anteriormente obtenemos:

\frac{1}{m} \int \frac{m^{2} {yo}^{2} r^{2}}{4 π^{2} R^{4}} d = L {yo}^{2}

$\frac{1}{\mu}\int\frac{\mu^2 I^2r^2}{4\pi^2R^4}d = LI^2$ Reemplazando la integral de volumen en forma polar:

∭ \frac{m r^{2}}{4 π^{2} R^{4}} r d r d ϕ d z = L

$\iiint\frac{\mu r^2}{4\pi^2R^4}r\mathrm{d}r\mathrm{d}ϕ\mathrm{d}z = L$

En este punto es donde algunas personas "meten la pata" y obtienen una inductancia infinita. Debido a que el campo magnético fuera del cable no está acoplado a nada y no está acotado, no contiene ninguna energía real (por eso resolvimos para $B$ solo dentro del cable), ahora nuestras integraciones van desde $0$ a $R$ en el $r$ dirección, $0$ a $2\pi$ en el $\phi$ dirección, y $0$ a $l$ en el $z$ direccion donde $l$ es la longitud del alambre. Esto se integra en todo el cable.

L = \frac{m}{4 π^{2} R^{4}} \int_{0}^{yo} d z \int_{0}^{2 π} d ϕ \int_{0}^{R} r^{3} d r

$L = \frac{\mu}{4\pi^2R^4} \int\limits_0^l\mathrm{d}z \int\limits_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int\limits_0^R r^3\mathrm{d}r$

∴ L = \frac{m}{4 π^{2} R^{4}} (yo 2 π \frac{1}{4} R^{4})

$\therefore L = \frac{\mu}{4π^2R^4}\left(l2\pi\frac{1}{4}R^4\right)$ $∴ L = \frac{m yo}{8 π}$ $\therefore L = \frac{\mu l}{8\pi}$
Para que coincida con el formato del interrogador original, tenga en cuenta que $\mu=\mu_r\mu_0$

Nótese que en esta ecuación el $R$ se han cancelado, lo que significa que la inductancia es independiente del radio del cable mismo. Espero que esto ayude a alguien por ahí!

Su cálculo es defectuoso cuando saca el campo B de la integral porque su cable no es infinito. Sí, $\vec{B}\cdot \vec{dl}$ se reduce a |B||dl| y SÍ, PUEDES sacar el campo B de esto debido a la simetría. Sin embargo, la ley de amperios no es válida para esta situación ya que la divergencia de J no es cero. Más aún, usar biotsavart le daría un campo B diferente

Édgar Bonet · Answer 3

Edición 1: creo que acabo de entender su pregunta: en realidad está tratando de calcular algún tipo de inductancia "interna", es decir, la contribución a la inductancia de solo el campo dentro del conductor.

Al calcular el flujo, debe elegir un camino cerrado sobre el cual desearía la fuerza electromotriz y luego integrar el flujo magnético sobre la superficie limitada por este camino. Normalmente, la ruta sería todo el circuito eléctrico, pero como solo está interesado en la contribución del campo interno, eligió la ruta de retorno a lo largo del borde del cable, lo cual está bien. Ahora tienes que elegir el camino hacia adelante.

El camino hacia adelante debe estar a lo largo de las líneas de corriente. El problema es que diferentes líneas de corriente dan diferentes flujos. Luego, puede calcular el flujo en función de dónde, en la sección transversal del conductor, toma el camino hacia adelante. Pero dado que está utilizando la aproximación de baja frecuencia (sin efecto de piel, luego densidad de corriente uniforme), puede promediar la dependencia de la ruta de avance en toda la sección transversal. Entonces obtienes el factor dos faltante.

En este viejo boletín de la Oficina de Normas se da un argumento algo diferente : el autor, en cambio, pondera las líneas de flujo individuales según la fracción del conductor que encierran. Esto da el mismo factor dos.

Edición 2: según lo solicitado, algunas aclaraciones.

Por "integrar el flujo magnético" en realidad quiero decir "calcular el flujo magnético". Usé "integrar" porque el cálculo implica una integral:

ϕ = \int_{A} B \cdot norte d A

$\phi = \int_A \mathbf{B}\cdot\mathbf{n}\; \mathrm{d} A$ donde

n

$\mathbf{n}$ es la unidad normal a la superficie. No es exactamente lo mismo que "integrar el campo magnético" debido al producto escalar con

n

$\mathbf{n}$ .

Hablé de "camino directo" y "camino de retorno" porque, si no es una antena (como sugiere la aproximación de baja frecuencia), un cable suele ser parte de una línea de transmisión que consta de al menos dos conductores. Suponga, por ejemplo, que usa un par de cables para conectar una fuente a una carga, como en la figura a continuación (espero que todos puedan ver los caracteres del dibujo del cuadro):

╔════════╗                 ╔════════╗
║        ╟→→→→→→→→→→→→→→→→→╢        ║
║ source ║   (flux here)   ║  load  ║
║        ╟←←←←←←←←←←←←←←←←←╢        ║
╚════════╝                 ╚════════╝

donde las flechas representan la corriente eléctrica. Supongo que el cable que le interesa es el superior, al que llamé "camino de avance". El cable inferior, al que llamé "camino de retorno", devuelve la corriente a la fuente. En conjunto, estos dos cables forman un bucle y la corriente generará un flujo magnético a través del bucle. Luego, si intenta cambiar la corriente, aparecerá alguna fuerza electromotriz debido a este flujo, y podrá modelar esto como el efecto de un inductor a lo largo de la línea de transmisión, como se muestra a continuación:

╔════════╗                 ╔════════╗
║        ╟────(inductor)───╢        ║
║ source ║                 ║  load  ║
║        ╟─────────────────╢        ║
╚════════╝                 ╚════════╝

Esta es la autoinducción de la línea de transmisión, y es lo primero que pensé que estabas tratando de calcular.

La autoinducción de un cable desnudo está algo mal definida. Bueno, está definido, pero con algunas suposiciones sobre la superficie sobre la cual integrar el flujo, y se escala como $l\log\frac{l}{r}$ , lo que hace que su valor por unidad de longitud diverja logarítmicamente cuando se considera un cable arbitrariamente largo, como lo señalan Zassounotsukushi y mmc. Una vez que agrega el segundo cable, la superficie sobre la que debe integrar el flujo está claramente definida y la inductancia de la línea se escala como $l\log\frac{d}{r}$ , donde $d$ es la distancia entre los alambres. No más divergencia logarítmica con respecto a $l$ . Por otro lado, depende logarítmicamente de la distancia entre los cables, por lo tanto, no puede asumir que la ruta de retorno está lo suficientemente lejos como para ignorarla. Por cierto, la ruta de retorno no es necesariamente un cable, podría ser, por ejemplo, un plano de tierra.

Para el cálculo particular que está haciendo (solo la contribución del campo dentro del conductor), usa un bucle muy estrecho donde la ruta de retorno se reemplaza por una línea a lo largo del borde del conductor, para encerrar solo el campo interno.

La respuesta original a continuación , que es algo falsa, ya que pensé que después de la autoinducción total (incluido el campo externo) por unidad de longitud de un cable infinito. Los comentarios de Georg se refieren a esta versión original.

No puede asignar una inductancia solo a un cable largo: debe considerar todo el circuito. La corriente transportada por el cable tiene que regresar de alguna manera, y necesita saber a qué distancia de su cable está el camino de regreso.

Suponga por un momento que el alambre es en realidad el conductor interno de un cable coaxial. Puede calcular fácilmente la inductancia lineal del cable en función de los radios de los conductores interior y exterior. ¡Ahora haga que el radio exterior vaya al infinito y tendrá una autoinducción divergente! Esto significa que, en la práctica, nunca se puede suponer que el camino de regreso está "lo suficientemente lejos" como para ignorarlo.

""No puede asignar una inductancia solo a un cable largo: "" ¡Sí, puede! Mire una antena como la de Grimeton en Suecia. Incluso una simple lambda/4 vertical tiene una inductancia sin ningún "retorno".
¡Oh, cierto, no pensé en antenas! Tal vez entendí mal la pregunta, pero pensé que el OP buscaba la inductancia por unidad de longitud de un cable infinito.
Encontrará fórmulas en los libros de texto de electrónica incluso para tal caso.
Sí, pero con una divergencia logarítmica de la inductancia lineal.
Muchas gracias por esta respuesta Edgar, sin embargo tengo algunas dificultades para seguir. La primera parte que no entiendo es: "Al calcular el flujo, debe elegir un camino cerrado sobre el cual desearía la fuerza electromotriz y luego integrar el flujo magnético sobre la superficie limitada por este camino". ¿Qué obtengo al integrar el flujo magnético sobre una superficie? ¿Querías integrar el campo magnético? La otra cosa que no entiendo es la ruta de avance/retroceso. ¿Qué es un camino hacia adelante? ¿Qué es un camino hacia atrás? Sería genial si pudieras aclarar eso. Gracias
@Edgar: Muchas gracias, Edgar. Esto realmente aclaró las cosas.

Woo Swengwoong · Answer 4

En el caso de una distribución de corriente uniforme dentro de un cable largo, el campo magnético aumenta linealmente dentro del conductor y disminuye inversamente con el radio fuera del conductor. Para el exterior del conductor, podemos suponer un cable coaxial con un radio exterior infinito. En este caso, el cuadrado del flujo magnético disminuye con el inverso del cuadrado de r y la integración de volumen de Ri a Ro (infinito) da un valor finito por unidad de longitud de cable.

Derivación de la autoinducción de un cable largo.

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