La Energía Potencial tiende a infinito en el Problema de N-Cuerpos

Necesito ayuda para resolver este problema relacionado con el problema N-Body, no entiendo muy bien lo que necesito definir o expresar para poder resolverlo.

Suponemos una solución particular al Problema de N-Cuerpos, para todos$t>0$, y$h>0$, dónde$h$es la energía total de los N-Cuerpos, demuestre que$U\rightarrow \infty$como$t\rightarrow \infty$. ¿Significa esto que la distancia entre un par de partículas tiende al infinito? (No.)

En el problema de N-Cuerpos$U$es dado por$U=\sum_{1\leq i< j\leq N}\frac{Gm_{i}m_j}{\left \| q_i-q_j \right \|}$, dónde$G$es la constante gravitacional. La energía cinética es$T=\sum_{i=1}^{N}\frac{\left \| p_i \right \|^2}{2m_i}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_i{\left \| \dot{q}_i \right \|^2}$

el vector$q_{i}$definir el vector de posición del$i$partícula. Así que básicamente$U$es como la suma de todas las energías potenciales entre todas las$N$partículas También por la Fórmula de Lagrange Jacobi, tenemos que$I$es el momento de inercia,$T$la energía cinética por lo que podemos expresar:

dónde$h$es una cantidad conservada.

creo que si$U\rightarrow \infty$, entonces$T\rightarrow \infty$(porque$h$es constante), el problema es que la única manera que veo para$U\rightarrow \infty$es cuando la distancia entre todas las partículas$\left \| q_i-q_j \right \| \rightarrow 0$, pero significa que será una colisión, así que si tenemos una colisión, entonces$t\rightarrow t_1$y no a$\infty$, porque una colisión toma una cantidad finita de tiempo (teorema de colapso total de Sundmann) , como dije, no sé qué tengo que definir para demostrar que$U\rightarrow \infty$como$t\rightarrow \infty$, o tal vez necesito definir un$q_i(t)$que de alguna manera eso$\left \| q_i-q_j \right \|$va muy cerca de cero, pero nunca cero, por lo que$t$poder$t\rightarrow \infty$?

Además, ¿qué pasa con la cuestión de un par de partículas que van al infinito? Está claro que no deben ir a$\infty$porque entonces$U\rightarrow 0$, y estamos tratando de probar el otro caso.