Cómo resolver la ecuación de movimiento de la ley del inverso del cuadrado

Pero me pregunto si es posible resolver las dos ecuaciones de r con respecto a t y θ con respecto a t.

Sí tu puedes. En el caso de una órbita elíptica con un momento angular distinto de cero, debe introducir los conceptos de anomalía excéntrica , anomalía media y movimiento medio .

La anomalía excéntrica está relacionada con la anomalía verdadera (su theta) a través de

dónde$\varepsilon$es la excentricidad de la órbita.

La anomalía excéntrica está relacionada con la anomalía media a través de la ecuación de Kepler ,

La anomalía media es una función lineal del tiempo, con el movimiento medio medio$n$especificando la constante de tiempo:

Finalmente, el movimiento medio medio$n$es una constante determinada por las masas de los cuerpos en órbita y la distancia a la que se orbitan entre sí:

dónde$a$es el semieje mayor de la órbita, y$\mu_1$y$\mu_2$son los parámetros gravitatorios de los cuerpos en órbita:$\mu_k = GM_k$, dónde$G$es la constante gravitatoria de Newton y$M_k$es la masa del cuerpo$k$. (Pero en la práctica, normalmente se usa el parámetro gravitacional en lugar de la masa y$G$. El parámetro gravitacional es altamente observable. La masa y la constante gravitacional no lo son).

En el caso de una trayectoria parabólica o hiperbólica, deberá utilizar la anomalía parabólica o hiperbólica en lugar de la anomalía elíptica. En el caso de un momento angular cero, deberá resolver el problema radial de Kepler.

Encontrar$\theta(t)$, necesitarás el movimiento medio$n$, la excentricidad$\varepsilon$, y el valor de$\theta$en alguna epoca$t_0$,$\theta_0$. Las ecuaciones anteriores le permiten calcular la anomalía media inicial$M_0$dada esta verdadera anomalía inicial$\theta_0$y la excentricidad. La anomalía media en algún momento$t$es trivial ya que la anomalía media es una función lineal del tiempo. La parte difícil es encontrar la anomalía excéntrica en ese momento.

La ecuación de Kepler es una ecuación trascendental. Ciertamente tiene un inverso, pero ese inverso no puede expresarse en términos de las funciones elementales. Se han escrito muchos cientos de artículos sobre formas de resolver el problema inverso de Kepler en los cuatro siglos desde que Kepler descubrió que las órbitas planetarias son elipses. El enfoque más utilizado es utilizar un iterador de Newton-Raphson. Esto funciona muy bien siempre que la excentricidad no sea enorme ($\varepsilon < 0.8$). Se necesitan técnicas especializadas para órbitas altamente excéntricas.

Alternativamente, puede renunciar por completo al enfoque kepleriano e integrar las ecuaciones de movimiento numéricamente. Las órbitas keplerianas son una buena ficción. Solo existen en el caso de un problema de dos cuerpos que sigue la ley de gravitación de Newton. Nuestro sistema solar tiene una masa central (el Sol), ocho planetas (Mercurio, Venus, ... Neptuno) y un montón de cuerpos menores (Plutón, Ceres, etc.). Las órbitas de nuestro sistema solar son solo aproximadamente elípticas. Además, la ley de gravitación de Newton es sólo aproximadamente correcta. La relatividad general describe con mayor precisión el movimiento orbital que la mecánica newtoniana.

No hay forma de resolver esto de manera simple, o incluso iterativa. La única forma de evitar este lío es utilizar técnicas de integración numérica. Ahora no solo se trata de cientos de artículos técnicos, sino de muchos miles de artículos, algunos de los cuales se están publicando hasta el día de hoy.

Es posible encontrar$t(r)$y$t(\theta)$fácilmente, sin embargo invirtiendo para encontrar$r(t)$y$\theta(t)$es difícil de hacer en general (a menos que use la serie de Fourier, etc.)

Como señaló @David Hammen, puede definir algunas variables auxiliares para simplificar sus expresiones, pero al final la relación para invertir seguirá siendo trascendental y solo puede tener$r(t)$implícitamente.