¿Cómo se determinan los puntos de Lagrange?

Prueba esbozada de todos los puntos de Lagrange posibles :

1. Considere primero el problema de los 2 cuerpos . Deduzca que los posibles puntos de Lagrange deben estar en el plano orbital (porque una sonda siempre será atraída gravitacionalmente hacia el plano orbital). De ahora en adelante restringimos la atención al plano orbital, que identificamos con el plano complejo$\mathbb{C}$.

2. Considere el problema de 2 cuerpos con órbitas circulares por simplicidad. Dejar$R$ser la distancia fija entre las 2 masas puntuales$m_1$y$m_2$. Vaya al sistema de coordenadas del centro de masa giratorio (CM), donde las masas puntuales$m_1$y$m_2$se fijan en posiciones

   $$r_1~=~-\epsilon_2 R ~<~0\qquad\text{and}\qquad r_2~=~\epsilon_1 R~>~0 \tag{1}$$ a lo largo del eje real, donde $$\begin{align} \epsilon_1~:=~&\frac{m_1}{m_1+m_2}~>~0,\cr \epsilon_2~:=~& \frac{m_2}{m_1+m_2}~>~0, \cr \epsilon_1+\epsilon_2~=~&1.\end{align}\tag{2}$$

         m_1           CM               m_2
    ------|-------------|----------------|-----------> z
         r_1            0               r_2
          |                              |
          |<--------------R------------->|
   

   $\uparrow$Fig. 1: Las posiciones$r_1$y$r_2$de las masas$m_1$y$m_2$.

3. La fuerza gravitacional sobre$m_2$debe cancelar la fuerza centrífuga en$m_2$:

   $$\frac{Gm_1m_2}{R^2} ~=~ m_2\Omega^2 r_2 \qquad\Rightarrow\qquad \Omega^2~=~\frac{G(m_1+m_2)}{R^3}.\tag{3}$$ Esto determina la velocidad angular.$\Omega$del sistema de coordenadas.

4. Deduzca que una masa de prueba en la posición$z\in\mathbb{C}$experimenta una aceleración

   $$a~=~ -\frac{Gm_1z_1}{|z_1|^3} -\frac{Gm_2z_2}{|z_2|^3}+\Omega^2 z,\tag{4}$$ de la gravedad y la fuerza centrífuga, donde definimos las posiciones relativas $$z_1~:=~ z-r_1~\neq~0\qquad\text{and}\qquad z_2~:=~ z-r_2~\neq~0.\tag{5}$$

5. Deducir que la ecuación

   $$a~=~0\tag{6}$$ para los puntos de Lagrange es $$\frac{z}{R^3} ~\stackrel{(2)+(3)+(4)+(6)}{=}~\frac{\epsilon_1z_1}{|z_1|^3} +\frac{\epsilon_2z_2}{|z_2|^3} ,\tag{7}$$ o equivalente, $$\begin{align}z~&\overbrace{\left(\frac{\epsilon_1}{|z_1|^3}+ \frac{\epsilon_2}{|z_2|^3}-\frac{1}{R^3}\right)}^{\in~\mathbb{R}} \cr ~\stackrel{(1)+(5)+(7)}{=}& \underbrace{\epsilon_1\epsilon_2R \left(\frac{1}{|z_2|^3}-\frac{1}{|z_1|^3} \right)}_{\in~\mathbb{R}}. \end{align}\tag{8}$$

6. La única forma en que$z$en la izquierda. de la ec. (8) podría ser un número no real si los dos paréntesis en la ec. (8) son ambos cero. Esta es la condición de que los 3 cuerpos formen un triángulo equilátero

   $$|z_1|~=~R~=~|z_2|. \tag{9}$$ ecuación (9) tiene 2 soluciones, a saber, los puntos de Lagrange$L_4$y$L_5$: $$\begin{array}{rcccl} z_1~&=&~R\exp\left\{\pm \frac{i\pi}{3} \right\} ~&=&~\frac{R}{2}\pm\frac{\sqrt{3}iR}{2}, \cr z_2~&=&~-R\exp\left\{\mp \frac{i\pi}{3} \right\} ~&=&~-\frac{R}{2}\pm\frac{\sqrt{3}iR}{2} . \end{array}\tag{10}$$

7. Por tanto, podemos suponer (y lo haremos) a partir de ahora que$z\in\mathbb{R}$es real, es decir que los 3 cuerpos son colineales. Entonces la ec. (7) se convierte en una ecuación de quinto orden , cuyas raíces genéricamente no tienen fórmula exacta cerrada . Dado que la derivada

   $$\frac{da}{dz}~\stackrel{(4)}{=}~\frac{2Gm_1}{|z_1|^3} + \frac{2Gm_2}{|z_2|^3}+\Omega^2 ~>~0\tag{11}$$ es positivo para$z\in\mathbb{R}\backslash\{r_1,r_2\}$, puede haber como máximo una raíz en cada uno de los intervalos continuos $$]-\infty,r_1[, \qquad ]r_1,r_2[ \qquad\text{and}\qquad ]r_2,\infty[.\tag{12}$$ De ahí la ecuación$a=0$tiene como máximo 3 raíces reales. El comportamiento de la función$a$cerca de las singularidades$z\in\{-\infty,r_1,r_2,\infty\}$revela que la ecuación$a=0$tiene exactamente 3 raíces reales$L_1$,$L_2$&$L_3$, cf. Fig. 2. Véase, por ejemplo, Ref. 1 y Wikipedia para más detalles.

   

   $\uparrow$Fig. 2: Un ejemplo de la aceleración$a$en función (4) de la posición$z$. La función$a$tiene singularidades en las posiciones$z\in\{-\infty,r_1,r_2,\infty\}$. La pendiente (11) es positiva en todas partes. Siempre hay exactamente 3 raíces reales$L_1$,$L_2$&$L_3$.

8. Para la pregunta de estabilidad, vea, por ejemplo, esto y esta publicación de Phys.SE.$\Box$

Referencias:

1. J. Binney & S. Tremaine, Galactic Dynamics, 2ª edición (2008); pag. 676.

Los puntos de Lagrange son posiciones donde otro objeto puede orbitar el sol con el mismo periodo que la tierra. (L1 sería un buen lugar para estacionar un asteroide para bloquear parte del calor del sol). Supongamos que la tierra y la luna actúan como una sola masa combinada en el centro de masa. Se podría suponer que un objeto en L1 (una órbita más pequeña alrededor del sol) se movería más rápido que la tierra, pero mientras permanezca en línea con la tierra, la gravedad de la tierra compensa la atracción adicional del sol. De manera similar, en L2 y L3, la atracción de la tierra trabaja con la del sol. En L4 y L5, es la suma vectorial de las dos fuerzas lo que determina la órbita. (Consulte la respuesta de Qmechanic para obtener fórmulas).