"Cayendo hacia arriba": ¿qué tan lejos tienes que estar de la Tierra para comenzar a caer a la Luna?

Question

"Cayendo hacia arriba": ¿qué tan lejos tienes que estar de la Tierra para comenzar a caer a la Luna?

rafb3

Hablando de la gravedad con mi hijo de 9 años, me preguntó cuándo comenzamos a "caer hacia arriba" a la Luna. ¿Cuál es la distancia a la que la atracción gravitacional de la Luna es mayor que la de la Tierra y por lo tanto te hace acelerar hacia ella, y cómo llegar a esa respuesta?

Jold

Para agregar a lo que dicen los demás, ~ 300,000 km es aproximadamente el 85%, o 17/20, de la distancia de la Tierra a la Luna. Solo para poner ese gran número en perspectiva :).

Pato mugido

Dios mío, la respuesta de Rob Jeffries plantea una pregunta interesante. La distancia a la que la atracción gravitacional de la Luna es mayor que la de la Tierra, y la distancia a la que aceleras hacia la Luna, son dos distancias completamente diferentes . Hay un punto en el que la atracción de la Tierra tiene una gravedad más fuerte, pero si estás "en órbita", entonces, debido a la rotación, aceleras hacia la luna de todos modos. ¿Qué número estás buscando exactamente? HDE226868, maxpesa, user46147 y user64976 encontraron la misma gravedad, Michael y RobJeffries encontraron la aceleración.

ProfRob

@MooingDuck Precisamente; la pregunta pide ambos, y en realidad eso es lo que he dado.

rafb3

No creo que pensé lo suficiente en la pregunta o que sabía lo suficiente sobre el tema para los términos adecuados del usuario. Me di cuenta de que no sería tan simple como podía imaginar, pero no había considerado todo lo que podría influir en la "caída a la Luna". Pero, creo que desde un punto de vista de 9 años, la pregunta solo consideraría la fuerza de la gravedad e ignoraría por completo cualquier otro efecto debido a la órbita y demás.

Jorge Leitão

Buena pregunta de un niño de 9 años.

Almiar

Wow, estoy impresionado con tus 9 años... Espero que siga haciendo estas preguntas.

Respuestas (8)

"Cayendo hacia arriba": ¿qué tan lejos tienes que estar de la Tierra para comenzar a caer a la Luna?

Para agregar a lo que dicen los demás, ~ 300,000 km es aproximadamente el 85%, o 17/20, de la distancia de la Tierra a la Luna. Solo para poner ese gran número en perspectiva :).
Dios mío, la respuesta de Rob Jeffries plantea una pregunta interesante. La distancia a la que la atracción gravitacional de la Luna es mayor que la de la Tierra, y la distancia a la que aceleras hacia la Luna, son dos distancias completamente diferentes . Hay un punto en el que la atracción de la Tierra tiene una gravedad más fuerte, pero si estás "en órbita", entonces, debido a la rotación, aceleras hacia la luna de todos modos. ¿Qué número estás buscando exactamente? HDE226868, maxpesa, user46147 y user64976 encontraron la misma gravedad, Michael y RobJeffries encontraron la aceleración.
@MooingDuck Precisamente; la pregunta pide ambos, y en realidad eso es lo que he dado.
No creo que pensé lo suficiente en la pregunta o que sabía lo suficiente sobre el tema para los términos adecuados del usuario. Me di cuenta de que no sería tan simple como podía imaginar, pero no había considerado todo lo que podría influir en la "caída a la Luna". Pero, creo que desde un punto de vista de 9 años, la pregunta solo consideraría la fuerza de la gravedad e ignoraría por completo cualquier otro efecto debido a la órbita y demás.
Wow, estoy impresionado con tus 9 años... Espero que siga haciendo estas preguntas.

ProfRob · Answer 1

El gráfico principal a continuación muestra la energía potencial de una masa en el sistema Tierra-Luna bajo la suposición poco realista de que el sistema no está girando .

es decir, esto refleja (actualmente) todas menos una de las 4 respuestas dadas, al suponer que este punto se define donde la fuerza gravitatoria sobre una masa debida a la Tierra y la Luna son iguales y opuestas (es decir, en el punto donde el potencial total la energía [curva roja] está al máximo, porque la fuerza es, por supuesto, el gradiente del potencial, y lo muestro como una línea negra).

Esto es incorrecto porque ignora el potencial centrífugo causado por el movimiento orbital. Si bien la inclusión de este potencial solo cambia la tercera cifra significativa de la cantidad de energía que se necesita para llevar algo a la luna, mueve el punto en el que un objeto en co-rotación comienza a caer hacia la luna significativamente más cerca de la tierra.

En el gráfico utilicé la distancia media Tierra-Luna de 384.000 km. El punto P donde la fuerza (despreciando la fuerza centrífuga) es cero está a unos 344 000 km .

Incluir el potencial centrífugo (ver el gráfico a continuación: crédito de la NASA) en el marco co-rotatorio y calcular el "punto L1" donde el potencial se maximiza realmente, se describe aquí e implica resolver una función quíntica. Sin embargo, como la masa de la luna es mucho menor que la masa de la Tierra, podemos usar la aproximación de la "esfera de Hill", en la que el punto L1 está separado de la luna por $r= R (M_2/3M_1)^{1/3}$ , dónde $R$ es la separación Tierra-Luna y $M_2/M_1$ es la relación de masa Luna/Tierra. Poner los números da $R-r=$ 323.000 km , por lo que no es una corrección pequeña.

Sin embargo, tenga en cuenta que un cuerpo que pasa por el punto L1 que anteriormente estaba orbitando la tierra no puede simplemente caer sobre la luna. Tiene demasiado momento angular. El punto L1 marca el punto donde deja de orbitar la tierra y comienza a orbitar la luna. En ese sentido está "cayendo" hacia la luna.

Editar: las complicaciones finales son que (i) la distancia Tierra-Luna no es constante y tampoco lo es el punto L1. De hecho, una mejor forma de citar la solución es que el equilibrio de la fuerza gravitacional se logra al 90% de la distancia Tierra-Luna, mientras que la distancia a la que el objeto cae hacia la Luna es aproximadamente el 84% de la distancia Tierra-Luna. (ii) El sistema Tierra-Luna no está aislado y la gravedad del Sol juega un papel.

También observo que esto era parte del concepto de misión para la misión SMART-1 a la luna, donde se diseñó una órbita para que el satélite girara en espiral hacia afuera desde la Tierra hasta el punto L1 y luego fuera capturado por la luna. "Pasó por una posición a 310.000 km de la Tierra ya 90.000 km de la Luna a la deriva".

Potencial Tierra-Luna, despreciando el potencial centrífugo

Incluyendo los efectos del potencial centrífugo.

Representación del potencial Tierra-Luna, incluido el potencial centrífugo (Crédito: NASA)

No estoy seguro de cuál es la relevancia de la última imagen. Parece un diagrama de puntos de Lagrange Tierra-Sol que no está a escala, pero esta pregunta es sobre el sistema Tierra-Luna.
@ user2357112 Me alegro de que alguien esté prestando atención. Acabo de poner el diagrama incorrecto, ahora corregido. Gracias.

HDE 226868 · Answer 2

Establezca las fuerzas sobre la partícula de prueba de la Tierra y la Luna iguales:

F_{mi} = F_{METRO}

$F_E=F_M$

GRAMO \frac{{METRO}_{mi} {METRO}_{partícula de prueba}}{R_{mi}^{2}} = GRAMO \frac{{METRO}_{METRO} {METRO}_{partícula de prueba}}{R_{METRO}^{2}}

$G\frac{M_EM_{\text{ test particle}}}{R_E^2}=G\frac{M_MM_{\text{ test particle}}}{R_M^2}$ los

G

$G$ arena

M_{test particle}

$M_{\text{ test particle}}$ s cancel, dejándote con

\frac{{METRO}_{mi}}{R_{mi}^{2}} = \frac{{METRO}_{METRO}}{R_{METRO}^{2}}

$\frac{M_E}{R_E^2}=\frac{M_M}{R_M^2}$ pero sabes que

R_{M}

$R_M$ , la distancia entre la partícula de prueba y la Luna, es la distancia entre la Tierra y la Luna menos la distancia entre la partícula de prueba y la Tierra (

R_{E}

$R_E$ ). Simplificamos y obtenemos

\frac{{METRO}_{mi}}{R_{mi}^{2}} = \frac{{METRO}_{METRO}}{(D_{mi \to METRO} - R_{mi})^{2}}

$\frac{M_E}{R_E^2}=\frac{M_M}{(D_{E \to M}-R_E)^2}$ y entonces

D_{mi \to METRO}^{2} - 2 R_{mi} \times D_{mi \to METRO} + R_{mi}^{2} = R_{mi}^{2} \frac{{METRO}_{METRO}}{{METRO}_{mi}}

$D_{E \to M}^2-2R_E \times D_{E \to M}+R_E^2=R_E^2\frac{M_M}{M_E}$ Esto simplifica a

(1 - \frac{{METRO}_{METRO}}{{METRO}_{mi}}) R_{mi}^{2} - 2 R_{mi} \times D_{mi \to METRO} + D_{mi \to METRO}^{2} = 0

$\left(1-\frac{M_M}{M_E} \right)R_E^2-2R_E \times D_{E \to M} + D_{E \to M}^2=0$ Puedes resolver esta ecuación para obtener:

R_{mi} = \frac{D_{mi \to METRO}}{1 + \sqrt{\frac{{METRO}_{METRO}}{{METRO}_{mi}}}}

$R_E=\frac{D_{E \to M}}{1+\sqrt{\frac{M_M}{M_E}}}$

$F_E$ es la fuerza de la Tierra sobre la partícula de prueba.

$F_M$ es la fuerza de la Luna sobre la partícula de prueba.

$M_E$ es la masa de la Tierra.

$M_M$ es la masa de la Luna.

$G$ es la constante gravitatoria universal.

$M_{\text {test particle}}$ es la masa de la partícula de prueba.

$R_E$ es la distancia desde la partícula de prueba hasta el centro de la Tierra.

$R_M$ es la distancia desde la partícula de prueba hasta el centro de la Luna.

$D_{E \to M}$ es la distancia entre la Tierra y la Luna.

Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat .

dave · Answer 3

La Tierra es unas 100 veces más masiva que la Luna, y dado que $F \propto M / r^2$ , la distancia de la Tierra al astronauta tendría que ser de aproximadamente $\sqrt{100}$ = 10x más lejos que de la luna al astronauta. Por lo tanto, el astronauta cae "hacia arriba" alrededor del 90% del camino a la luna.

[Las respuestas anteriores son mucho más detalladas (y son técnicamente más precisas), pero vale la pena una rápida aproximación, ya que pocos niños de nueve años entenderán los puntos de Lagrange].

Buena contribución y posiblemente la versión más amigable para los 9 años aquí (no es que la mía haya tenido la intención de ser realmente).
Secundaré a @RobJeffries. Es probablemente el más simple aquí y conduce a un resultado realmente intuitivo.

Miguel · Answer 4

Miguel

En el punto de Lagrange L1 . Específicamente para Tierra-Luna L1, estos cálculos muestran 326054 km.

Carlos Witthoft

Esa es más la definición de L1 que una respuesta a la pregunta.

Miguel

@CarlWitthoft: 326054 km responde "¿Cuál es la distancia a la que la atracción gravitatoria de la Luna es mayor que la de la Tierra" y el segundo enlace responde "cómo llegar a esa respuesta".

Adán D. Ruppe

¡Esto no es lo que L1 significa en absoluto, lo que hace que esta respuesta sea incorrecta! Los puntos de Lagrange no son un punto de cancelación de gravedad, son un lugar donde la fuerza combinada da un período orbital igual. ¡ Debe haber una fuerza distinta de cero hacia la Tierra en cualquier punto de Lagrange para actuar como una fuerza centrípeta para la órbita!

Marca

L1 es el punto en el que la fuerza de gravedad neta equilibra la fuerza centrípeta de un objeto que orbita alrededor del cuerpo más grande a la velocidad angular del cuerpo más pequeño. Para un cuerpo que no está en órbita, el punto de equilibrio está algo más alejado.

ProfRob

@Marque una mejor manera de pensarlo, es que L1 es el punto en el que tendría un satélite síncrono lunar. es decir. Un cuerpo aquí orbitará la tierra con el mismo período que la luna orbita la tierra. Por lo tanto, el potencial correcto a considerar es el potencial de Roche y un desplazamiento radial hacia la luna hará que el objeto "caiga".

Miguel

@AdamD.Ruppe: mi lectura de la pregunta no es "punto de cancelación de gravedad", sino "punto más allá del cual un cuerpo caería en la Luna". L1 no es estable; un cuerpo que lo pasaría caería sobre la Luna.

usuario46147 · Answer 5

Para calcular esto por ti mismo, necesitas saber que la fuerza de gravedad ejercida sobre un objeto (por ejemplo, Tú) es igual a $F=GMm/r^2$ , dónde $G$ es la gravedad constante, $M$ es la masa del objeto grande ( $M_m$ para luna, $M_e$ para la tierra), $m$ es la masa del objeto pequeño. $r$ es la distancia desde el centro de la masa.

Ahora necesitas saber las masas de la tierra y la luna y la distancia entre ellas. El punto en el que la tierra y la luna te atraen con la misma fuerza (después de lo cual caerás sobre la luna) está dado por esas ecuaciones: $GM_m m/r^2_m=GM_e/r^2_e$ y $r_m+r_e=\text{Distance Between Moon And Earth}$

Ten en cuenta que más allá de este punto, la Luna te atrae más que la Tierra, por lo que comenzarás a caer.

En la primera ecuación puedes reemplazar uno de $r$ está con $\text{Distance Between Moon And Earth}-\text{another R}$ Además constante de gravedad $G$ puede ser reducido.

Todos los datos necesarios se pueden encontrar en Wikipedia

Tenga en cuenta que esta es una solución simplificada que supone que va directamente a la Luna. La Luna y la Tierra están en constante movimiento, por lo que debe realizar algunos cálculos mejores y más complejos en el caso de las naves espaciales.

maxpesa · Answer 6

Simplemente use una ecuación que se aparte de las dos fuerzas que atraen a los objetos (gravitación universal) para obtener el punto de equilibrio, algo como (ya simplificado): M/d^2 = m/(384000000 - d)^2

Donde M es la masa de la tierra, m la masa de la luna y d la distancia a la tierra. A medida que d se vuelve más grande que este valor, comienzas a caer en la luna

Obtengo un valor de aproximadamente 3,4 10 ^ 8 metros (pero no estoy usando mi calculadora, así que calcule nuevamente, ¡lo siento!)

usuario64976 · Answer 7

La distancia que obtuve fue de 346 084 km. Aquí están las matemáticas que usé:

( $E_m$ ) Masa terrestre = $5.9736\times10^{24}$ kg
( $M_m$ ) Masa lunar = $7.3477\times10^{22}$ kg
( $D_{em}$ ) distancia media Tierra-Luna = 384 467 km
( $G$ ) constante gravitacional = $6.67384\times10^{-11}$
( $W$ ) mi peso = 85kg
( $D_{fe}$ ) distancia de la tierra = ?

La fuerza de atracción entre dos objetos se calcula por

F = \frac{GRAMO {METRO}_{1} {METRO}_{2}}{d^{2}}

$F=\frac{G M_1 M_2}{d^2}$ Entonces la fuerza de atracción de la tierra es

F_{mi} = \frac{GRAMO mi metro W}{D_{F mi}^{2}}

$F_e = \frac{G Em W}{D_{fe}^2}$ y la fuerza de atracción de la luna es

F_{metro} = \frac{GRAMO {METRO}_{metro} W}{(D_{mi metro} - D_{F mi})^{2}}

$F_m = \frac{ G M_m W}{(D_{em}-D_{fe})^2}$

Hice un guión que comenzaba con $D_{fe} = 1$ km, calculado $F_e$ y $F_m$ , y si $F_e$ era más alto que $F_m$ , $D_{fe}$ aumentaría en 1 km y las fuerzas se calcularían de nuevo. A $D_{fe}$ = 346 084 km, $F_e$ es 282 922.71N y $F_m$ es 282 923.03N y ese es el punto donde la fuerza de atracción de la luna será más fuerte que la de la tierra.

@RobJeffries: y esa cosa responde la pregunta incorrecta, "¿cuál es el punto en el que, en el sistema de referencia inercial, la gravedad de la Luna es igual a la gravedad de la Tierra", en lugar de la pregunta original, "¿cuál es el punto que uno debe alcanzar para caer en la luna? . Las 4 respuestas similares no tienen en cuenta que el sistema Tierra-Luna no es estático en el marco de referencia inercial, por lo que el marco de referencia apropiado donde el sistema es estático se gira alrededor del centro de gravedad Tierra+Luna. La respuesta correcta que explica eso en el punto de Lagrange L1, como en tu y mi respuesta.
@Michael bueno, para ser justos, el OP en realidad combina ambas preguntas. ¿Dónde son las fuerzas gravitatorias iguales y opuestas y dónde está el punto en que un objeto cae hacia la luna?

dbfísica · Answer 8

Así es como resolví este problema:

La fuerza sobre el objeto (masa m) de la Tierra (masa Me) tiene que ser igual a la fuerza de la Luna (masa Mm).
La distancia del objeto a la Tierra es R, y siendo Rem la distancia entre la Tierra y la Luna, entonces la distancia a la Luna es Rem-R

Ley de Newton: G.Me.m/R^2 = G.Mm.m/(Rem-R)^2 Resolver para R: R=Rem(Me-(sqrt(MeMm))/Me-Mm

Con esta matemática obtengo un resultado de 346.019 km (varía según los valores de Me, Mm y Rem).

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