Relación entre anomalías excéntricas y verdaderas

Aquí está la prueba: consulte la página de wikipedia sobre anomalías excéntricas para ver un diagrama y un par de fórmulas intermedias.

Para una elipse con la fórmula habitual$x^2/a^2 + y^2/b^2=1$, se da el caso de que$\sin E = y/b$, y también al estudiar la figura en la página wiki puedes ver que$\sin (\pi-\nu) = \sin \nu = y/r$. Por lo tanto, los dos resultados que desea obtener se siguen uno del otro.

La relación entre la anomalía excéntrica y la anomalía verdadera es

$$\tan \left(\frac{\nu}{2}\right) = \left(\frac{1+e}{1-e}\right)^{1/2} \tan \left(\frac{E}{2}\right) \tag{1}$$

Diferenciando (1):

$$\sec^2 \left(\frac{\nu}{2}\right) \frac{d\nu}{dE} = \left(\frac{1+e}{1-e}\right)^{1/2}\sec^2 \left(\frac{E}{2}\right)\tag{2}$$

Pero usando (1) para reemplazar el término de excentricidad en (2)

$$\frac{d\nu}{dE} = \frac{\sec^2 (E/2) \tan (\nu/2)}{\sec^2 (\nu/2) \tan (E/2)}$$ $$\frac{d\nu}{dE} = \frac{\sin (\nu/2) \cos (\nu/2)}{\sin (E/2) \cos (E/2)} = \frac{\sin \nu}{\sin E} = \frac{y/r}{y/b} = \frac{b}{r}$$