¿La electrodinámica clásica tiene simetría U(1)U(1)U(1)? Si es así, ¿cómo?

Question

¿La electrodinámica clásica tiene simetría U(1)U(1)U(1)? Si es así, ¿cómo?

Física
electromagnetismo
invariancia de calibre
electrodinámica-cuántica
electrodinámica-clásica

SRS

La electrodinámica cuántica (QED) se basa en $U(1)$ simetría. ¿Qué sucede con esta simetría en la electrodinámica clásica?

Addendum Los libros sobre electrodinámica clásica como JD Jackson, no menciona sobre $U(1)$ simetría en el contexto de la invariancia de calibre (hasta donde yo sé). La invariancia de calibre se entiende simplemente, en los libros de electrodinámica clásica, como la invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo $A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu\chi(x)$ . No hay señal de invariancia U(1) que pueda descubrir aquí. Por otro lado, cuando algo como la ecuación de Dirac o el campo de Dirac entra en escena, entonces la implementación de la transformación U(1) es clara. Pero eso siempre se discute en los libros de teoría cuántica de campos. Parece que es esencial tener un campo de Dirac para entender la simetría U(1). Entonces, la pregunta es si es posible comprender la existencia de la simetría U(1) en la electrodinámica clásica sin tener en cuenta el campo de Dirac.

qmecanico

Sí, es lo mismo.

una mente curiosa

¿Por qué piensas algo sobre el

U (1)

$\mathrm{U}(1)$ la simetria es cuantica? Generalmente, obtenemos una teoría cuántica de campos cuantificando una clásica, ¿cómo crees que podrían aparecer nuevas simetrías en este proceso? (A diferencia de desaparecer, cf. anomalías cuánticas)

Selene Routley

Supongo que tu dificultad podría ser que solo has visto

U (1)

$U(1)$ simetría derivada de una condición de acoplamiento mínimo con la ecuación de Schrödinger/Dirac ( es decir , que las condiciones de calibre de campo EM se pueden hacer para absorber los términos adicionales que aparecen en la ecuación de Schrödinger/Dirac desacoplada cuando el estado cuántico

ψ

$\psi$ se multiplica por un término de fase arbitrario

e^{i ϕ (r)}

$e^{i\,\phi(\mathbb{r})}$ )? Si esto responde a la pregunta retórica de @ACuriousMind, entonces nos dice la respuesta que necesita.

SRS

@ACuriousMind No estoy pensando en anomalías. Estoy preguntando cómo me convenzo de que la invariancia U (1) existe en la electrodinámica clásica. En los libros de electrodinámica clásica como el de JD Jackson no se menciona

U (1)

$U(1)$ simetría en el contexto de la invariancia de calibre (hasta donde yo sé). Esta simetría se menciona solo en los libros de QFT en el contexto de la invariancia de calibre. Además, en la electrodinámica clásica, los campos son campos reales donde como los elementos de

U (1)

$U(1)$ son complejos, en general.

SRS

@WetSavannaAnimalakaRodVance ¡Sí!

SRS

@ACuriousMind Cuando hablamos de invariancia de calibre en electrodinámica clásica, nos referimos a la invariancia de las ecuaciones de Maxwell en

A_{μ} \to A_{μ} + \partial_{μ} χ (x)

$A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu\chi(x)$ . A partir de esto, no veo ningún signo de simetría U(1) allí. Por supuesto, puede que me esté perdiendo algo, pero no sé qué. Sin el campo de Dirac, ¿cómo se entenderá aquí el concepto de simetría U(1)?

qmecanico

Comentario al título (v3): parece que OP en realidad no está preguntando sobre E&M clásico versus cuántico, sino más bien sobre E&M con o sin campos de materia. Tenga en cuenta que los campos de materia también existen clásicamente cuando

ℏ = 0

$\hbar=0$ .

Respuestas (2)

¿La electrodinámica clásica tiene simetría U(1)U(1)U(1)? Si es así, ¿cómo?

¿Por qué piensas algo sobre el $\mathrm{U}(1)$ la simetria es cuantica? Generalmente, obtenemos una teoría cuántica de campos cuantificando una clásica, ¿cómo crees que podrían aparecer nuevas simetrías en este proceso? (A diferencia de desaparecer, cf. anomalías cuánticas)
Supongo que tu dificultad podría ser que solo has visto $U(1)$ simetría derivada de una condición de acoplamiento mínimo con la ecuación de Schrödinger/Dirac ( es decir , que las condiciones de calibre de campo EM se pueden hacer para absorber los términos adicionales que aparecen en la ecuación de Schrödinger/Dirac desacoplada cuando el estado cuántico $\psi$ se multiplica por un término de fase arbitrario $e^{i\,\phi(\mathbb{r})}$ )? Si esto responde a la pregunta retórica de @ACuriousMind, entonces nos dice la respuesta que necesita.
@ACuriousMind No estoy pensando en anomalías. Estoy preguntando cómo me convenzo de que la invariancia U (1) existe en la electrodinámica clásica. En los libros de electrodinámica clásica como el de JD Jackson no se menciona $U(1)$ simetría en el contexto de la invariancia de calibre (hasta donde yo sé). Esta simetría se menciona solo en los libros de QFT en el contexto de la invariancia de calibre. Además, en la electrodinámica clásica, los campos son campos reales donde como los elementos de $U(1)$ son complejos, en general.
@ACuriousMind Cuando hablamos de invariancia de calibre en electrodinámica clásica, nos referimos a la invariancia de las ecuaciones de Maxwell en $A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu\chi(x)$ . A partir de esto, no veo ningún signo de simetría U(1) allí. Por supuesto, puede que me esté perdiendo algo, pero no sé qué. Sin el campo de Dirac, ¿cómo se entenderá aquí el concepto de simetría U(1)?
Comentario al título (v3): parece que OP en realidad no está preguntando sobre E&M clásico versus cuántico, sino más bien sobre E&M con o sin campos de materia. Tenga en cuenta que los campos de materia también existen clásicamente cuando $\hbar=0$ .

una mente curiosa · Answer 1

un libre " $\mathrm{U}(1)$ La teoría de calibre nunca puede decir si el grupo de calibre es $\mathrm{U}(1)$ o $\mathbb{R}$ porque el único campo en la teoría, el potencial de calibre $A$ , se transforma como
$A \mapsto A + \partial_{m} x,$ $A\mapsto A + \partial_\mu \chi,$ dónde $\chi$ es solo una función de valor real, y los números reales son el álgebra de Lie de ambos $\mathrm{U}(1)$ y $\mathbb{R}$ . Esta no es una propiedad clásica o cuántica, simplemente no puedes notar la diferencia. Entonces, en cierto sentido, preguntar si esta teoría tiene $\mathrm{U}(1)$ simetría o no no tiene sentido - tiene $\mathfrak{u}(1)$ simetría, y no hay una noción significativa del grupo de simetría .
El electromagnetismo acoplado a una corriente conservada externa todavía no puede decir cuál es el grupo de calibre, ya que la corriente es invariante en el calibre.
El electromagnetismo acoplado a otros campos puede decir cuál es el grupo de calibre, ya que parte de acoplarlo a otros campos es especificar cómo estos campos se transforman bajo transformaciones de calibre. Allí tenemos una elección entre (infinitesimalmente) $\psi \mapsto \psi + \chi \psi$ y $\psi\mapsto \psi + \mathrm{i}\chi \psi$ , que conducen a transformaciones finitas $\psi\mapsto \mathrm{e}^{\chi}\psi$ y $\psi\mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}\chi}\psi$ , respectivamente. El primero corresponde a un grupo calibre $\mathbb{R}$ , este último a $\mathrm{U}(1)$ . Nuevamente, nada de esto es clásico o cuántico.

La razón por la que probablemente pienses que el $\mathrm{U}(1)$ es una característica cuántica es que es mucho más natural en la teoría cuántica de campos que en la teoría clásica de campos tener campos de valores complejos, pero de hecho podemos considerar, por ejemplo, el electromagnetismo clásico acoplado a un campo escalar complejo clásico y luego nos vemos obligados a especificar el grupo de calibre.

Si lo entendí correctamente, está diciendo en el punto 1 de su respuesta que una teoría de calibre "U (1)" libre está asociada con un álgebra de Lie inequívoca pero no con un grupo de Lie inequívoco. ¿Cómo estás seguro de que existe un álgebra de mentira inequívoca? ¿Cómo es el álgebra? Gracias. @ACuriousMind
@SRS $\chi$ tiene valor real, por lo que el álgebra de Lie $\mathfrak{u}(1)$ es simple $\mathbb{R}$ con el corchete de mentira trivial.
Bien. Por álgebra de Lie entiendo el álgebra de los generadores de un grupo de Lie. Si no hay un grupo de Lie, ¿qué significa tener un álgebra de Lie? @ACuriousMind
@SRS Ahora que lo pienso, incluso escuché a personas hablar sobre "no compacto $U(1)$ simetría de calibre", incluso en este mismo sitio, lo que me hace pensar, porque claramente (bueno, ¡tal vez!) significan $(\mathbb{R},\,+)$ - Esa es una forma terriblemente confusa de hablar de las cosas.
"...así ves cómo se componen las transformaciones de calibre:..." Creo que estoy luchando con esto. Puede ser porque no estoy acostumbrado a pensar en álgebras de Lie de esta manera. Todo lo que puedo entender es que $\chi(x)$ es una función de valor real en ED clásica y puede vivir en $\mathbb{R}$ . No está claro en la disfunción eréctil clásica que $\chi$ es un parámetro de algún grupo de Lie. @WetSavannaAnimalakaRodVance
@SRS Un álgebra de mentira es simplemente un espacio vectorial con un corchete de mentira.
@WetSavannaAnimalakaRodVance ¿Cómo entiendo que una transformación como $A\to A+\partial_\mu\chi$ tiene algo que ver con un soporte de mentira. Esta transformación no es exponencial (que son los elementos del grupo de Lie).
@SRS - Lo siento, me estoy confundiendo un poco aquí, nuevamente, debido al hecho de que el álgebra de Lie y el grupo se parecen tanto a fuerza de Abelianhood Por cierto, lo estoy aclarando como un teórico que no es de campo. En el $A$ transformaciones de campo, solo se puede ver el álgebra -y estas se componen en este caso abeliano al igual que las operaciones de grupo, estas últimas actuando sobre el campo clásico o cuántico $\psi$ . Usted "ve" un paréntesis de Lie cuando compone operaciones de grupo, y aparecerá en general en el $A$ componentes a través del teorema de Campbell Baker Hausdorff. Pero aquí, el paréntesis de mentira es trivial:
- la fórmula BCH termina y no "ves" un paréntesis de Lie en absoluto. Lo que facilita cometer el error que acabo de cometer, es decir, olvidar sobre qué actúa realmente el grupo. Como no ve sobre qué está actuando el grupo simplemente en las ecuaciones de Maxwell, solo en el álgebra, debe especificar el campo $\psi$ . También creo que la mayoría de los físicos llamarían a las ecuaciones acopladas de Maxwell-Dirac (es decir, la "primera cuantificación", en la ecuación de partículas de Dirac) donde el acoplamiento mínimo a menudo se analiza por primera vez como un sistema clásico, lo que posiblemente se suma a la confusión aquí .
¿No haría esto simplemente que el grupo de simetría fuera el grupo de todas las funciones graduables? $\chi : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}$ bajo adición?
@The_Sympathizer Sí, si no está completamente abrumado por los enfoques de la teoría de calibre estándar, puede interpretar el $\mathfrak{u}(1)$ simetría del álgebra como un grupo (¡un álgebra de Lie abeliana es un grupo bajo suma!). Depende de lo que consideres "el" grupo de simetría en esta situación.

Lawrence B Crowell · Answer 2

Usando notación compacta de formas diferenciales, el operador diferencial $D=d+A$ es un operador covariante con el potencial de calibre $1$ -forma $A$ . El campo $2$ -forma es $F~=~D\wedge D$ $=~(d~+~A)\wedge(d~+~A)$ . Esto actuando sobre una unidad con $d\wedge d~=~0$ (el límite del límite es 0) da

F = d A + A \land A,

$F~=~dA~+~A\wedge A,$ El

U (1)

$U(1)$ grupo simplemente significa que

A \land A = 0

$A\wedge A~=~0$ . Por supuesto, sabemos que un

1

$1$ -la forma en un producto exterior consigo mismo es cero. Sin embargo, si hay índices internos de color o carga, puede tener varios de estos. En

S U (2)

$SU(2)$ hay

3

$3$ campo de medida y en

S U (3)

$SU(3)$ hay

8

$8$ . Con

U (1)

$U(1)$ solo hay un potencial de calibre sin índice de carga.

El campo $2$ -la forma tiene componentes $F_{\mu\nu}$ y con un poco de esfuerzo puedes demostrar que

F_{0 i} = \frac{\partial A_{i}}{\partial t} - \frac{\partial A_{0}}{\partial X^{i}} = {mi}_{i}

$F_{0i}~=~\frac{\partial A_i}{\partial t}~-~\frac{\partial A_0}{\partial x^i}~=~E_i$

F_{i j} = \frac{\partial A_{i}}{\partial X_{j}} - \frac{\partial A_{j}}{\partial X^{i}} \to B_{i} = - (\nabla \times A)_{i} .

$F_{ij}~=~\frac{\partial A_i}{\partial x_j}~-~\frac{\partial A_j}{\partial x^i}~\rightarrow~B_i~=~-(\nabla\times A)_i.$ Estos son cálculos electromagnéticos estándar. Todo esto sería muy diferente si existieran los términos no lineales

A \land A

$A\wedge A$ incluido. Entonces el electromagnetismo clásico es abeliano.

Pero, ¿sigue siendo la simetría $U(1)$ , o algo asi $\mathbb{R}$ ? Después de todo, no hay números complejos, todo lo que cambia es el potencial.
¡Suspiro! eso realmente no es un problema. La simetría abeliana es $U(1)$ y el $\pm 1$ los pesos corresponden a $\pm e$ cargos Además, las soluciones clásicas pueden tener $exp(-ikx + i\omega t)$ términos.
Creo que @Javier está preocupado por la topología del grupo: $U(1)$ no es del todo de simetría abeliana: su cobertura universal es $(\mathbb{R}, +)$ . Por supuesto que son iguales a nivel de álgebra: me da la sensación de que tanto el OP como Javier tienen muchas ganas de saber cómo surge la compacidad del grupo de simetría y qué papel juega.
@LawrenceB.Crowell No me siento cómodo con la 'notación de forma'. ¿Puedes ser un poco liberal y agregar una respuesta sin usarlas (si es posible)?
@LawrenceB.Crowell una buena descripción general, pero no responde completamente la pregunta de $ℝ$ vs U(1), ya que $ℝ$ es también abeliano y $A ∧ A$ seguiría siendo 0 si el grupo fuera $ℝ$ en lugar de U(1).

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