¿La ecuación diofántica exponencial 2nn−nss(n−s)n−s=1/9,92nn−nss(n−s)n−s=1/9,92^nn^{-n}s^s(ns )^{ns}=1/9,9 tiene solución?

Su$2$ecuaciones, con una que requiere ser satisfecha, son

$$2^n(s^s)(n-s)^{n-s} = 9(n^n) \tag{1}\label{eq1A}$$

$$9(2^n)(s^s)(n-s)^{n-s} = n^n \tag{2}\label{eq2A}$$

Usando la suposición$0^0 = 1$, luego con$s = 0$o$s = n$,$\eqref{eq1A}$se convierte$2^n(n^n) = 9(n^n) \; \to \; 2^n = 1$y$\eqref{eq2A}$se convierte$9(2^n)(n^n) = n^n \; \to \; 9(2^n) = 1$, sin que ninguno sea posible. De este modo,$1 \le s \le n - 1$, y$1 \le n - s \le n - 1$, con$n \ge 2$.

A continuación, como usted dijo,$n$debe ser par, por lo que para algún número entero positivo$m$,

$$n = 2m \tag{3}\label{eq3A}$$

De este modo,$\eqref{eq1A}$se convierte

$$\begin{equation}\begin{aligned} 2^n(s^s)(2m-s)^{n-s} & = 9((2m)^n) \\ 2^n(s^s)(2m-s)^{n-s} & = 9(2^n)(m^n) \\ s^s(2m-s)^{n-s} & = 9(m^n) \end{aligned}\end{equation}\tag{4}\label{eq4A}$$

A continuación, deja

$$d = \gcd(s, m), \; s = de, \; m = df, \; \gcd(e, f) = 1 \tag{5}\label{eq5A}$$

Usando$\eqref{eq5A}$en$\eqref{eq4A}$da

$$\begin{equation}\begin{aligned} (de)^s(2df - de)^{n-s} & = 9((df)^n) \\ (d^s)(e^s)(d^{n-s})(2f - e)^{n-s} & = 9(d^n)(f^n) \\ (d^n)(e^s)(2f - e)^{n-s} & = 9(d^n)(f^n) \\ (e^s)(2f - e)^{n-s} & = 9(f^n) \end{aligned}\end{equation}\tag{6}\label{eq6A}$$

Esta espectáculos$f$debe dividir el lado izquierdo. Desde$\eqref{eq5A}$da$\gcd(e,f) = 1$, esto significa$f \mid (2f - e)^{n-s}$, que sólo es posible si$f = 1$. Desde$2f - e \gt 0$, entonces$e = 1$. Sin embargo,$\eqref{eq6A}$entonces se convierte$1 = 9$, lo cual no es posible.

Un argumento similar se puede aplicar con$\eqref{eq2A}$para obtener también una contradicción, que te dejaré hacer.

Para mostrar que no hay soluciones, basta mostrar que ambos$n$y$s$son múltiplos de$3$, como entonces los factores$2^n$,$s^s$,$n^n$y$(n-s)^{n-s}$son todos cubos perfectos. El factor restante$9$no es un cubo perfecto, una contradicción.

Primero, si$s=0$o$n=0$o$n-s=0$luego, dividiendo los factores comunes, las ecuaciones se simplifican a

$$2^n=9\qquad\text{ and }\qquad 9\cdot2^n=1,$$ que son claramente imposibles, y por lo tanto$n>s>0$.

Ahora comenzando con la segunda ecuación, si

$$9\cdot2^n\cdot s^s(n-s)^{n-s}=n^n,$$ entonces es claro que$3$divide$n$, entonces$n=3m$para algún entero positivo$m$. De ello se deduce que el lado derecho es divisible por$3^3$, y por lo tanto$s$es divisible por$3$, y hemos terminado.

El otro caso es similar; si

$$2^n\cdot s^s(n-s)^{n-s}=9n^n,$$ está claro que$3$divide cualquiera$s$o$n-s$, o ambos. En cualquier caso, porque$s,n-s>0$se sigue que el lado izquierdo es divisible por$3^3$y entonces$3$divide$n$. Resulta que$3$divide$s$y hemos terminado.