Para números primos ppp, ¿el símbolo de Legendre (5p)(5p)(\frac {5}{p}) depende solo de la clase de congruencia de ppp módulo 555?

Sí, por Reciprocidad y el hecho $5$es de la forma $4k+1$.

¿Por qué el ser de la forma $4k +1$significa que sólo depende de la clase de congruencia de $p$módulo $5$?

Porque si al menos uno de $q$o $p$es congruente con $1$modificación $4$, entonces $(q/p)=(p/q)$.

Sé que eso es cierto, pero no veo cómo eso implica que depende de la clase de congruencia de $p$módulo $5$.

Dejar $q=5$, o cualquier primo, y sea $a$no ser divisible por $q$. Entonces por definición $a$es un módulo QR $q$si y solo si hay un $x$tal que $x^2\equiv a\pmod{q}$. Ahora deja $b\equiv a\pmod{q}$, Hay un $x$tal que $x^2\equiv b\pmod{q}$si y solo si hay un $x$tal que $x^2\equiv a\pmod{q}$, porque usamos el mismo $x$.