Demostrar que hay infinitos números primos que son raíces primitivas módulo NNN

Asumiendo$N$tiene una raíz primitiva, demuestre que hay infinitos números primos que son raíces primitivas módulo$N$.

Obviamente es cierto usando el teorema de Dirichlet sobre números primos, pero quiero probar sin esto. Hay una pista dada:

Trate de imitar la prueba de que hay infinitos números primos de la forma$3n-1$,$4n+3$o$5n\pm 2$.

Esta prueba básicamente es la siguiente:

• Si$N=q_1\cdots q_s$es, digamos, congruente con 3 módulo 4, entonces uno de$q_i$debe ser congruente con 3 módulo 4.
• Enumere todos esos números primos$p_1,\cdots,p_r$, y deja$N = \alpha p_1\cdots p_r + C$para algunos$\alpha$y$C$de modo que$N$no se puede dividir por ninguno de$p_i$pero debe tener un factor primo de la forma dada, lo que lleva a una contradicción.

Lo intenté, pero no pude mostrar ambos pasos:

• ¿Puedo deducir que si$M = q_1\cdots q_s$es un módulo raíz primitivo$N$entonces uno de$q_i$es también un módulo raíz primitivo$N$?
  • Contraejemplo de Robert:$2$y$6$no son raíces primitivas mod$7$, pero$2\cdot 6=12$es.
  • Y si$q_i$son primos?
    • Contraejemplo de Annyeong:$52=2\cdot 2\cdot 13\equiv 3 \pmod 7$es una raíz primitiva pero$2$y$13\equiv 6$no son modulo$7$.
  • ¿Algún otro método para obtener una prueba similar? Creo$N$debe ser una especie de polinomio de$p_1\cdots p_r$, como en la prueba de$2kp+1$-primos
• Como escoger$\alpha$y$C$¿arriba?
• No podemos probar que hay infinitos números primos congruentes con una raíz primitiva específica de esta manera, por Murty. (Vea el comentario a continuación de Vincent).

¡Cualquier ayuda y consejo son bienvenidos!

Actualización : el profesor ha retirado este problema de la tarea.