Análisis asintótico de ∑nk=2klnk∑k=2nkln⁡k\sum_{k=2}^n\frac{k}{\ln k}

Trataré el término principal$I(n) = \int_{x = *}^n \frac x{\ln x}dx$cuando$n$tiende al infinito, donde$*$es cualquier constante fija.

Por integración por partes, podemos escribir

$$\begin{eqnarray} I(n) &=& \left . \frac{x^2}{2\ln x} \right |_{x = *}^n - \int_{x = *}^n \left ( \frac 1{\ln x} \right )'\frac{x^2}2 dx\\ &\approx& \frac{n^2}{2\ln n} + \frac 12\int_{x = *}^n\frac x{(\ln x)^2}dx \end{eqnarray}$$ dónde$\approx$significa hasta$O(1)$. Es claro que la integral$\int_{x = *}^n\frac x{(\ln x)^2}dx$es de tamaño$O \left (\frac n{(\ln n)^2} \right )$.

Este procedimiento puede continuar:

$$\begin{eqnarray} \int_{x = *}^n\frac x{(\ln x)^2}dx &=& \left . \frac{x^2}{2(\ln x)^2} \right |_{x = *}^n - \int_{x = *}^n \left ( \frac 1{(\ln x)^2} \right )'\frac{x^2}2 dx\\ &\approx& \frac{n^2}{2(\ln n)^2} + \int_{x = *}^n\frac x{(\ln x)^3}dx \end{eqnarray}$$ etcétera.

El resultado es una expansión asintótica:$I(n) \sim n^2 \left (\frac 1{2\ln n} + \frac 1{4 (\ln n)^2} + \frac 1{4(\ln n)^3} + \frac 3{8(\ln n)^4} + \dots \right )$

Tenga en cuenta que esta no es una expansión en serie de potencias, ya que no es convergente para ningún$n$. Debe entenderse como muchas fórmulas asintóticas como

$$I(n) = n^2 \left ( \frac 1{2\ln n} + \frac 1{4 (\ln n)^2} + \frac 1{4(\ln n)^3} \right ) + O \left (\frac{n^2}{(\ln n)^4} \right )$$ tomando cualquier número finito de términos iniciales.

si consideras

$$I=\int_2^n \frac{x}{\log (x)}\,dx$$ dejar$x=e^y$para hacer $$I=\int_{\log(2)}^{\log(n)}\frac {e^{2y}} y \,dy=\int_{\log(2)}^{\log(n)}\frac {e^{2y}} {2y} \,d(2y)=\text{Ei}(2 \log (n))-\text{Ei}(2 \log (2))$$ donde aparece la función integral exponencial.

Ahora bien, para valores grandes de$n$, como comentó @Gary (echa un vistazo aquí ) una expansión de la serie es

$$\text{Ei}(x)\sim\frac {e^x} x \sum_{k=0}^\infty \frac {k!} {x^k}$$

$$\text{Ei}(\log (n^2))\sim\frac{n^2} 2 \sum_{k=1}^\infty \frac {a_k}{\log^k(n)}$$ donde el primero$a_k$formar la secuencia $$\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{3}{2},\frac{15}{4},\frac{45}{4},\frac{315}{8},\frac{315}{2},\cdots\right\}$$ ya dado por @WhatsUp.

Los numeradores corresponden al mayor divisor impar de$k!$(ver secuencia$A049606$en$OEIS$) y el denominador corresponden a la secuencia de Dress (ver secuencia$A001316$en$OEIS$).

Para$n=1000$, la expresión truncada anterior daría$78623.2$mientras que la suma correspondiente da$78698.5$.