Enteros cercanos en potencias de binomios con radicales

Esta pregunta surge de un problema de calendario matemático que pedía el dígito de las décimas de la expresión ( 17 + 280 ) 17 . El calendario implicaba que el dígito debería ser 9, pero después de jugar con la expresión mientras, factorizarla de varias maneras, desarrollos binomiales, intentar aproximaciones en serie, etc., progresé poco.

Probé un enfoque más de fuerza bruta e ingresé la expresión en una calculadora de alta precisión, que mostró que el valor era muy cercano a un número entero, específicamente con un decimal que comienza .999999999824 . . . Después de más pruebas y errores, vi que el problema tenía varias pistas falsas (p. ej., el hecho de que la primera vez y el exponente son iguales, o que el número debajo del radical es diferente del cuadrado de la primera vez por un cuadrado perfecto).

Alguien me puede corregir si me equivoco, pero en general me parecen expresiones de esta forma

( a + a 2 ± X ) norte
dónde a es un entero positivo y X es un número entero relativamente pequeño en comparación con a 2 , tienden a acercarse rápidamente a valores enteros como norte crece

Siento que me estoy perdiendo algo bastante obvio aquí, pero ¿alguien podría iluminarme (o al menos darme una pista) sobre por qué esta expresión debería dar valores cada vez más cercanos a los números enteros cuando se eleva a grandes potencias?

Pista: demuestra que a norte = ( 17 + 280 ) norte + ( 17 − 280 ) norte es siempre un entero.

Respuestas (1)

Dejar α = 17 + 280 y β = 17 − 280 . Entonces α y β son las raíces de la cuadrática

X 2 − 34 X + 9 = 0.
Ahora deja
C norte = α norte + β norte .
Entonces C 0 = 2 , C 1 = 34 y en general
C norte = 34 C norte − 1 − 9 C norte − 2 .
Entonces el C norte son todos enteros, por inducción. Pero 0 < β < 1 y para grandes norte , β norte es positivo y cercano a cero. Esto significa que α norte es sólo un poco por debajo del número entero C norte . Este es el fenómeno que estás observando.

¡Ah gracias! Creé esa cuadrática y la miré fijamente por un tiempo, pero no pude resolver cómo hacer que hiciera lo que quería.
Otra forma de ver eso C norte es siempre un número entero es observar la expansión binomial de los términos en α norte + β norte y darse cuenta de que los términos correspondientes con una potencia impar dada de 280 tienen signos opuestos en α norte y β norte , por lo que se cancelan entre sí. Los términos restantes sólo tienen poderes pares de 280 (creando un número entero como la potencia), por lo tanto C norte es la suma de muchos números enteros y por lo tanto en sí mismo un número entero.
Enteros cercanos en potencias de binomios con radicales
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