¿La discusión sobre la dilatación del tiempo SR no tiene sentido cuando hay gravedad?

$\let\g=\gamma \let\d=\delta \let\De=\Delta \def\rA{{\rm A}} \def\rB{{\rm B}} \def\rC{{\rm C}} \def\rD{{\rm D}} \def\rE{{\rm E}} \def\rF{{\rm F}} \def\rG{{\rm G}} \def\rU{{\rm U}} \def\tA{t_\rA} \def\tB{t_\rB} \def\tC{t_\rC} \def\tD{t_\rD} \def\tE{t_\rE} \def\tF{t_\rF} \def\tG{t_\rG} \def\xA{x_\rA} \def\xB{x_\rB} \def\xC{x_\rC} \def\xD{x_\rD} \def\xE{x_\rE} \def\xF{x_\rF} \def\xG{x_\rG} \def\tauA{\tau_\rA^\phz} \def\tauB{\tau_\rB^\phz} \def\tauC{\tau_\rC^\phz} \def\tauD{\tau_\rD^\phz} \def\tauE{\tau_\rE^\phz} \def\tauF{\tau_\rF^\phz} \def\tauG{\tau_\rG^\phz} \def\phz{{\phantom0}} \def\cH{{\cal H}} \def\cS{{\cal S}} \def\dt{\d t} \def\Dt{\De t} \def\D#1#2{{d#1\over d#2}}$Creo que no se debe cerrar la pregunta dejando la última palabra a una respuesta errónea. Hasta ahora solo he visto palabras y no ecuaciones, pero en mi opinión, la física sin números ni ecuaciones es solo chat. Quiero llenar el vacío dando una solución, completa y estándar, un ejercicio de tarea, podría decir. A quien no esté de acuerdo se le pide que muestre lo que está mal en mi respuesta.

Estamos en el espacio-tiempo plano. No hay estrellas, planetas, galaxias cerca. En otras palabras, solo SR entra en juego. Desde una estación espacial$\cS$una nave espacial$\cH$se inicia, que por un tiempo$\dt$se mueve con una aceleración propia constante$a$(movimiento hiperbólico) hasta que alcanza una velocidad de crucero$v$(wrt$\cS$). Sigue una fase de crucero cuando$\cH$mantiene su velocidad constante durante un tiempo$\Dt$(medido por$\cS$relojes). Ahora$\cH$acelera hacia atrás (con la aceleración adecuada$-a$) por un tiempo$2\,\dt$, alcanzando así la velocidad$-v$. Comienza el viaje de regreso, que dura$\Dt$.$\cH$La misión de termina con una fase de frenado: aceleración$a$, duración$\dt$. En este punto$\cH$todavía está cerca$\cS$.

El tiempo total de viaje, medido por$\cS$, es$2\,\Dt+4\,\dt$. ¿Cuánto duró el viaje medido por el reloj de las naves espaciales?

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Eventos

Voy a marcar 7 eventos notables:

• R: comienzo de$\cH$
• B: fin de la aceleración
• C: fin de la fase de crucero - comienza la contraaceleración
• D: se alcanza la distancia máxima desde el punto de inicio
• E: comienza el viaje de regreso
• F: fin del viaje de regreso - comienza la fase de frenado
• G: fin de frenado y parada.

Solo se utiliza un marco inercial:$\cS$marco de descanso, con coordenadas$(t,x)$. Toda la misión tiene lugar en$x\ge0$. Cada evento, digamos$U$, tiene sus propias coordenadas$t_\rU,x_\rU$. Los orígenes del tiempo y el espacio están fijados en$\rA$, de modo que$\tA=0$,$\xA=0$. ya lo sabemos todo$t$-coordenadas:

$$\eqalign{ \tB &= \dt \cr \tC &= \dt + \Dt \cr \tD &= 2\,\dt + \Dt \cr \tE &= 3\,\dt + \Dt \cr \tF &= 3\,\dt + 2\,\Dt \cr \tG &= 4\,\dt + 2\,\Dt.\cr}$$ $x$-las coordenadas en su lugar deben ser calculadas, pero$\xB$,$\xC$bastará que los demás sigan por simetría. Lo mismo vale para los tiempos apropiados. Solo arreglaré el origen de tiempo adecuado configurando$\tauA=0$.

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El$\rB$-evento

Las ecuaciones de movimiento hiperbólico son

$$\eqalign{ \tB &= t_0\,\sinh {\tauB \over t_0}\cr \xB &= x_0 \left(\cosh {\tauB \over t_0} - 1\right) \cr} \tag1$$ dónde $$t_0 = {c \over a} \qquad x_0 = c\,t_0 = {c^2 \over a}.$$ Al eliminar$\tauB$en ecs. (1) $$\xB = c\,\sqrt{t_0^2 + \tB^2} - x_0 = c\,\sqrt{t_0^2 + \dt^2} - x_0 \tag2$$ y de (1) $$\tauB = t_0 \sinh^{-1} {\tB \over t_0} = t_0 \sinh^{-1} {\dt \over t_0}.\tag3$$

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El$\rC$-evento

De (2) y de la definición de$v$

$$v = \D{\xB}{\tB} = {c\,\tB \over \sqrt{t_0^2 + \tB^2}} = {c\,\dt \over \sqrt{t_0^2 + \dt^2}}$$ $$\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}} = {t_0 \over \sqrt{t_0^2 + \dt^2}}$$ $$\xC - \xB = v\,\Dt$$ $$\tauC - \tauB = \Dt\,\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}} = {t_0\,\Dt \over \sqrt{t_0^2 + \dt^2}}.\tag4$$

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respuesta y debate

Se solicitó tiempo propio total, es decir

$$\tauG = 4\,\tauB + 2\,(\tauC - \tauB) = 4\,t_0 \sinh^{-1} {\dt \over t_0} + {2\,\Dt \over \sqrt{1 + (\dt/t_0)^2}}.$$ (Se usaron las ecuaciones (3), (4)). Para ser comparado con$2\,\Dt+4\,\dt$.

Mantengamos fijos los parámetros de la fase de aceleración:$a$,$\dt$y luego$v$. Se puede observar que al aumentar$\Dt$la diferencia entre ambos tiempos crece tanto como queramos, es decir, el efecto gemelos es proporcional a la duración del viaje mientras que las fases de aceleración dan una contribución constante.

Tienes razón al decir que la paradoja de los gemelos se puede resolver con la dilatación del tiempo gravitacional.

Es un error pensar que los gemelos envejecen de manera diferente solo porque se mueven a una velocidad constante entre sí. Ahora la velocidad es simétricamente relativa, lo que significa que ambos gemelos podrían decir que el otro se mueve en comparación con ellos, por lo que deberían envejecer menos. El gemelo en la Tierra podría decir que el otro gemelo se está moviendo en relación con él, y el gemelo en la nave espacial podría decir que el gemelo en la Tierra se está moviendo en relación con él, por lo que ambos podrían decir que el otro debería envejecer menos.

La solución es la dilatación del tiempo gravitacional. Es porque la aceleración es absoluta en el universo. El gemelo en la nave espacial se mueve con velocidad constante, por lo que no si los gemelos envejecen de manera diferente, hasta el punto de regreso. En el punto de retorno, la nave espacial tiene que frenar y acelerar, es decir, tiene que dar la vuelta. Ahora tienes razón al pensar que según el principio de equivalencia, esto es lo mismo que los efectos de la gravedad, que ralentizan la nave espacial en la dimensión del tiempo.

No pasa nada hasta el punto de retorno, porque la nave espacial se mueve con velocidad constante y ambos gemelos envejecen de la misma manera. Ahora, en el punto de retorno, la nave espacial acelera, y eso tiene el mismo efecto que la gravedad, y la nave espacial se ralentiza en la dimensión del tiempo. Un objeto con masa en reposo (como la nave espacial) se mueve en la dimensión temporal con una velocidad c, y en las dimensiones espaciales con una velocidad inferior a c.

Ahora, cuando la nave espacial da la vuelta, acelera, y esto hace que disminuya su velocidad en la dimensión del tiempo. El universo está construido así, y los cuatro vectores están construidos de modo que la magnitud de los cuatro vectores tiene que ser c. Ahora bien, si la nave espacial acelera, su velocidad espacial cambia, por lo que en las dimensiones espaciales su velocidad cambia, pero la magnitud de los cuatro vectores tiene que permanecer c. Para compensar, la nave espacial se ralentizará en la dimensión del tiempo, y eso significa que el gemelo de la nave espacial envejecerá más lentamente en comparación con el gemelo de la Tierra. Esto es solo para el período de giro, cuando la nave espacial gire y comience a moverse con velocidad constante nuevamente hacia la Tierra, los gemelos envejecerán de la misma manera nuevamente.

Pero hubo un período, en ese momento, cuando envejecieron de manera diferente, y esa diferencia ahora está ahí. El gemelo de la nave espacial envejeció más lentamente, en relación con el gemelo de la Tierra. Entonces, cuando se reencuentren en la Tierra, verán que el gemelo de la nave espacial es más joven. Ahora hay una distancia entre ellos en la dimensión del tiempo, y eso se mantiene (mientras ninguno de ellos acelere).

Ahora bien, esto solo es cierto si ignoramos la diferencia entre los potenciales gravitatorios en la región del espacio donde se mueve la nave espacial y el potencial de la Tierra. Tienes razón en que la diferencia entre el potencial gravitacional donde está la nave espacial y la Tierra también afectará la forma en que envejecen los dos gemelos.