¿La densidad de empaquetamiento de una elipse es la misma que la de un círculo?
RavenclawPrefecto
Es bien sabido que el empaquetamiento más denso de círculos en el plano es el empaquetamiento hexagonal cerrado, con una densidad de :
Aplicando una transformación afín, obtenemos un empaquetamiento de elipses con la misma densidad:
Sin embargo, no todos los empaques de elipses surgen de tal transformación, ya que podemos rotar las elipses en diferentes ángulos. Por lo tanto, no se sigue que la elipse deba tener la misma densidad de empaquetamiento.
¿Existen elipses que tengan una densidad de empaquetamiento más alta que el círculo?
Me doy cuenta de que esta pregunta puede ser muy difícil de responder afirmativamente, dada la sutileza y la dificultad de la mayoría de los problemas de empaque, pero tengo curiosidad por conocer los límites del problema (posiblemente en función de la relación de aspecto) y opiniones de expertos sobre el respuesta probable, si nada más.
Vale la pena señalar que en el caso tridimensional, la densidad de empaquetamiento de un elipsoide puede ser mayor que la de la esfera, y algunos elipsoides tienen densidades de empaquetamiento de al menos en comparación con la esfera (ver Wolfram MathWorld , J. Wills ).
Respuestas (1)
RavenclawPrefecto
Algunas investigaciones adicionales revelan que las elipses tienen la misma densidad de empaquetamiento que los círculos, aunque no lo había visto explícitamente en ninguna parte antes, por lo que parece que vale la pena dejar esta pregunta para futuros lectores.
En el artículo de L. Fejes Tóth de 1949 Algunos teoremas de embalaje y cobertura , se observa que una consecuencia del Teorema es que cada conjunto convexo centralmente simétrico tiene una densidad de empaquetamiento igual a su densidad de empaquetamiento traslacional o de celosía, de lo cual se sigue el resultado deseado: podemos suponer que un empaquetamiento de elipse óptimo usa solo traslaciones, luego aplicar una transformación afín para producir un empaquetamiento circular de la misma densidad, que podría mejorarse si fuera inferior a . (Menciona en la nota al pie 8 que este resultado puede haber sido dado de forma independiente en una conferencia de octubre de 1949 de K. Mahler).
Sin embargo, Tóth señala que aún puede haber empaques sin red que alcancen la misma densidad, por lo que aún se puede preguntar si existen desviaciones no triviales del empaque hexagonal con un óptimo. densidad. (No sé si este es el caso, aunque me sorprendería saber que es cierto).
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