Cosmología - Confusión acerca de visualizar el universo como la superficie de una esfera de 3

Las coordenadas de una esfera general, con su centro en algún lugar arbitrario, serían bastante difíciles de capturar en una sola expresión. Pero si considera una esfera (me refiero a una esfera de 2 ubicada en la variedad de 3 esferas) que está centrada en el origen de las coordenadas, entonces los límites son fáciles: simplemente elija un valor para$r$y deja$\theta$y$\phi$varían en sus rangos completos ($\pi$y$2\pi$respectivamente). Por lo tanto, puede obtener el área de la superficie muy fácilmente y, para el volumen, haría una integral sobre$r$.

Para ubicar la superficie de una esfera de 2 (en la variedad de esfera de 3) de manera más general, una forma sería primero especificar la ubicación$(r_0,\theta_0,\phi_0)$para el centro, y luego encuentre el lugar geométrico de los puntos a una distancia fija de ese centro, integrando la métrica a lo largo de un conjunto de geodésicas que van hacia afuera desde el centro. Estoy seguro de que esto no es algebraicamente la forma más sencilla, y realmente usaría un montón de trucos de la geometría diferencial, pero desafortunadamente no los conozco.

Finalmente, ahora, una respuesta a la pregunta general sobre el significado de$r,\theta,\phi$. Es una buena pregunta.$r$es una coordenada que aumenta a medida que uno se mueve a lo largo de una línea hacia afuera desde el origen de coordenadas elegido.$\theta$y$\phi$lo llevará alrededor de círculos centrados en el origen, y juntos alrededor de una superficie esférica en fijo$r$. Entonces, estas coordenadas son muy parecidas a las coordenadas polares esféricas familiares que se pueden usar en la geometría euclidiana. Pero tenga cuidado, esta es una declaración sobre su papel en la variedad de 3 esferas en sí, no su relación con ninguna incorporación de esa variedad en un espacio de dimensiones superiores.

Una coordinación elemental común de los$2$-esfera de radio$R$utiliza dos ángulos$(\theta,\phi)$como (co) latitud y longitud. Si incrustamos la esfera en$\mathbb R^3$, entonces los puntos$(x,y,z)$en la superficie toma la forma

$$\pmatrix{x\\y\\z} = \pmatrix{R \sin(\theta)\cos(\phi)\\R\sin(\theta)\sin(\phi)\\ R\cos(\theta)}$$

si restringimos$\theta \in (0,\pi)$y$\phi\in (0,2\pi)$, entonces esto constituye un gráfico de coordenadas que cubre todos los$2$-esfera a excepción de los polos y la línea$\phi=0$que los conecta. En este gráfico, la métrica toma la forma

$$\mathrm ds^2 = R^2 (\mathrm d\theta^2 + \sin^2(\theta) \mathrm d\phi^2)$$

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Un enfoque alternativo es el siguiente. En lugar de usar el ángulo polar$\theta$como coordenada, podemos optar por utilizar la distancia desde el$z$-eje, dado por$R\sin(\theta)$, que llamaremos$r$. Equivalentemente,$r$es la circunferencia del círculo con centro en el polo norte dividida por$2\pi$. Tenga en cuenta que solo podemos cubrir el hemisferio norte (o sur) de la esfera en este cuadro, pero está bien. Incrustando el$2$-esfera en$\mathbb R^3$, tendríamos

$$\pmatrix{x\\y\\z} = \pmatrix{r \cos(\phi)\\r\sin(\phi) \\ \sqrt{R^2-r^2}}$$ En este gráfico, la métrica toma la forma $$\mathrm ds^2 = \frac{1}{1-kr} \mathrm dr^2 + r^2 \mathrm d\phi^2,\qquad k\equiv \frac{1}{R}$$

Esto debería parecer familiar.

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Las extensiones a la$3$-esfera son sencillas. La incrustación de "coordenadas esféricas" utiliza tres ángulos$\psi,\theta,\phi$y toma la forma

$$\pmatrix{x\\y\\z\\w} = \pmatrix{R\sin(\psi)\sin(\theta)\cos(\phi)\\R\sin(\psi)\sin(\theta)\sin(\phi)\\R\sin(\psi)\cos(\theta)\\R\cos(\psi)}$$

Definición$r\equiv R\sin(\psi)$, esto se convierte

$$\pmatrix{x\\y\\z\\w}=\pmatrix{r\sin(\theta)\cos(\phi)\\ r\sin(\theta)\sin(\phi) \\ r\cos(\theta)\\ \sqrt{R^2-r^2}}$$

y en este gráfico, la métrica toma la forma

$$\mathrm ds^2 = \frac{1}{1-kr} \mathrm dr^2 + r^2(\mathrm d\theta^2 + \sin^2(\theta) \mathrm d\phi^2)$$ donde una vez más$k\equiv 1/R$.

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Mi problema surge cuando extendemos este argumento a las 3 esferas. ¿Qué representan exactamente los parámetros ahora?

En el caso 2D, el conjunto de puntos equidistantes del origen constituye un círculo (generalizado) (un$1$-esfera); la coordenada$r$es la circunferencia de ese círculo dividida por$2\pi$. No es el radio del círculo, a pesar del engañoso nombre.

Generalizando al caso 3D, el conjunto de puntos equidistantes del origen constituye un$2$-esfera; la coordenada$r$ahora representa el área de la superficie de esa esfera dividida por$4\pi$. Esta es la misma interpretación que la coordenada "radial" de Swarzschild, por ejemplo.

Una vez que haya elegido algunos$r$, has restringido tu atención a un$2$-esfera de puntos que se encuentran a la misma distancia del origen de coordenadas. los angulos$\theta$y$\phi$especificar un punto en este$2$-esfera precisamente como suelen hacerlo en coordenadas esféricas elementales.

Para ilustrar mi problema: supongamos que deseamos calcular el volumen de una esfera de radio$R_0$que existe en la superficie de la 3-esfera (K=1 Universo). ¿Cómo haríamos eso usando esta métrica?

El área de superficie de una esfera de radio$r$es simple$4\pi r^2$, que se sigue inmediatamente de la interpretación anterior. El volumen de la bola de radio.$R_0$es entonces directamente

$$V = \int_0^{R_0} 4\pi r^2 \frac{1}{1-kr} \mathrm dr = 4\pi \frac{kR_0(kR_0+2)+2\log(1-kR_0)}{2k^3}$$ que se reduce a$\frac{4\pi R_0^3}{3}$en el límite como$kR_0 \rightarrow 0$, como se esperaba.