la cuna de Newton

Contrariamente a lo que se afirma en muchos libros de texto, la conservación de la energía y el momento por sí sola no puede explicar el comportamiento de la cuna de Newton. Para N bolas tenemos dos ecuaciones y N velocidades finales para calcular. Por lo tanto, las leyes de conservación pueden hacer el trabajo solo para N=2. Esto significa que si queremos dar una explicación del comportamiento de la cuna basada en las leyes de conservación, tenemos que dividir la colisión de N bolas en una secuencia de colisiones de dos bolas, como se hizo en algunas de las respuestas dadas a la pregunta.

El problema con este enfoque es que asume que inicialmente las bolas no se tocan entre sí, lo cual no es el caso en la mayoría de las cunas. Se podría argumentar que en realidad no importa que las bolas estén inicialmente en contacto, solo que el tiempo de colisión (el tiempo durante el cual se transfiere el impulso de una bola a la otra) es mucho menor que el tiempo que tarda la perturbación mecánica. para cruzar una bola. Sin embargo, el tiempo de colisión típico es del orden de 0,1 ms, mucho mayor que el tiempo de propagación de alrededor de 0,01 ms. Bajo tales condiciones, uno debería esperar que la propagación de ondas a lo largo de la cadena de bolas desempeñe un papel importante en la dinámica de la cuna.

Hay un buen papel,

F. Herrmann y P. Schmälzle. Explicación simple de un conocido experimento de colisión. Soy. J. física. 49 , número 8, págs. 761 (1981). doi: 10.1119/1.12407 . Versión de acceso abierto en el sitio web Karlsruher Physikkurs de F. Herrmann .

mostrando que la propagación de la onda a lo largo de la línea de la pelota debe estar libre de dispersión si queremos encontrar el mismo número de pelotas entrantes y salientes. Los autores también brindan una imagen interesante de cómo el sistema decide cuántas bolas va a enviar. Básicamente, el primer impacto produce dos pulsos de onda que se mueven en direcciones opuestas a lo largo de la línea de la pelota. Los pulsos se reflejan en los extremos de la línea y se reencuentran en el punto donde se rompe la cadena de bolas. Es fácil ver que este punto de ruptura es simétrico (con respecto a la mitad de la línea) al punto de impacto, lo que explica que el número de bolas que salen sea igual al de las que entran.

Conserva tanto la energía como el impulso en la colisión al mismo tiempo.

Por diseño, cuando las bolas chocan, las cuerdas que las sostienen son verticales (suponiendo que las bolas solo se balanceen de un lado). Esto significa que no hay fuerzas horizontales de la cuerda sobre las bolas, por lo que se debe conservar el momento lineal en la dirección del balanceo en la colisión. La energía también se conserva casi siempre que no se produzca demasiado ruido y calor.

Considere el caso de dos bolas donde cada bola tiene masa$m$y velocidad$v$en el momento de la colisión. La energía cinética será$E = mv^2$y el impulso$p = 2mv$. Entonces supongamos$n$las bolas debían volar del otro lado con velocidad$u$. la energia seria$\frac{n}{2} mu^2$y el impulso$nmu$. Así que por conservación debemos tener$mv^2 = \frac{n}{2} mu^2$y$2mv = nmu$. No es difícil ver que la única solución a estas ecuaciones juntas es$n=2$y$u=v$.

Un análisis más completo descartaría soluciones con diferentes bolas saliendo a diferentes velocidades, pero creo que esto es suficiente para demostrar el principio.

Comencemos con una observación de billar. Digamos que la bola roja está estacionaria y la golpeas de lleno con la bola blanca a gran velocidad.$v$. La bola blanca se detendrá y la bola roja continuará a gran velocidad.$v$. Lubos dio una descripción agradable y simple de esto en su respuesta . Puedes ver cómo sucede al principio de este video .

Ahora imagina una fila de bolas (por ejemplo, rojo-naranja-amarillo-verde-azul-violeta) perfectamente alineadas.

Le pegas al rojo con el taco, y el taco se detiene y la bola roja sigue adelante. Después de un momento, la bola roja golpea la bola naranja. El rojo se detiene y el naranja sigue adelante. Luego, la bola naranja golpea a la amarilla y se detiene, etc. Finalmente, la bola violeta sale de la línea y todas las demás bolas en la línea se han movido un poco hacia abajo en la mesa. Una pelota adentro, una pelota afuera. Puedes ver algo parecido a esto a los 50 segundos del mismo video (aunque no es del todo perfecto).

Ahora lo hacemos de nuevo. Alinee todas las bolas, pero esta vez haga rodar la bola blanca hacia la bola roja y haga rodar la bola 8 justo después de ella.

La bola blanca golpea la bola roja y se detiene; la bola roja avanza, como antes. La bola roja golpea la bola naranja. Esta vez, eso no es lo único que sucede. Simultáneamente con esa colisión, la bola 8 choca contra la bola blanca detenida. Después de estas colisiones, hay dos bolas en movimiento: la bola naranja al frente y la bola blanca, que ahora ha tenido dos colisiones, una al frente y otra desde atrás.

Este proceso se repite, siguiendo la línea, siempre con dos bolas en movimiento con una bola estacionaria en el medio. Cerca del final, las dos bolas en movimiento son la bola violeta (última) y la bola verde (penúltima). La bola violeta está libre, pero la bola verde choca con la azul, y esa es la última colisión. El resultado es que las bolas azul y violeta se salen de la alineación. Todo lo demás está parado. Entran dos balones y salen dos.

A partir de aquí, no es difícil ver que podríamos enviar tres, cuatro o incluso 100 bolas (en teoría) y volver a sacar el mismo número.

La dificultad de esta explicación es que, en la cuna de Newton, las bolas se tocan físicamente entre sí, por lo que el argumento de parada y arranque no se aplica de la misma manera. Este simple análisis debería hacer plausible la cuna de Newton, pero un argumento completo se basa en el estudio de la mecánica continua asociada con las colisiones entre cuerpos sólidos. Este documento , mencionado por Georg en los comentarios, proporciona dicho análisis.

Nota: no vi el video de YouTube en su totalidad y no necesariamente respondo por todo lo que dice sobre la física. Solo quería ejemplos de esas tomas. Además, las bolas de billar están rodando, lo que a veces puede marcar la diferencia en comparación con la cuna de Newton, pero aquí asumiremos que no es así.

En primer lugar, tengo una aplicación de iPhone gratuita para la cuna de Newton, llamada Kinetic Balls, que tiene unas 500 máscaras. ;-)

Los eventos en la cuna se componen de muchos pasos, aunque ocurren rápidamente unos tras otros. En particular,

si tienes cinco bolas, la primera bola comienza chocando con la segunda bola, la segunda bola golpea la tercera bola, la tercera bola golpea la cuarta bola, la cuarta bola golpea la quinta bola. ¿OK?

Entonces, estudiemos qué sucede cuando la primera bola de la izquierda golpea la segunda bola de la izquierda. La velocidad de la primera bola es$v$antes de chocar con el segundo. Ahora, simplifica las cosas mirar la colisión desde el sistema de centro de masa de las dos primeras bolas.

No hace falta decir que el centro de masa se mueve a la velocidad que es el promedio de las velocidades de las dos primeras bolas (igualmente pesadas). Porque el primero se está moviendo$v$a la derecha y el segundo tiene la velocidad igual a$0$, el promedio es$v/2$, ¿OK?

Antes del choque, la primera bola se mueve a la velocidad$v-v/2=v/2$con respecto al marco del centro de masa, y la segunda bola se mueve a la velocidad$0-v/2=-v/2$con respecto al marco del centro de masa.

Ahora, ¿qué sucede después de la colisión? Las bolas no pueden atravesarse entre sí, por lo que su velocidad relativa tiene que cambiar de signo: las velocidades simplemente se invierten. Cambian de signo. La situación es completamente simétrica con respecto al intercambio de las dos bolas combinado con el reflejo de "izquierda" y "derecha" en el espacio. En consecuencia, las dos velocidades finales (en el marco del centro de masa) aún deben ser iguales hasta el signo opuesto. Se garantiza que la magnitud general sea la misma que antes de la colisión, para conservar la energía cinética.$2\times mv^2/2$. Los signos tienen que ser opuestos entre sí, pero también opuestos a los iniciales porque las bolas no pueden penetrar entre sí.

Entonces, en el sistema del centro de masa, después de la colisión, la bola izquierda se moverá a la velocidad$-v/2$y la bola derecha se moverá por$+v/2$. Transformando de nuevo desde el marco del centro de masa al marco del laboratorio, tenemos que agregar$v/2$otra vez. Entonces, la velocidad final de la primera bola será cero, mientras que la velocidad final de la segunda bola será$v/2+v/2=v$. ¿OK?

Ahora, la segunda bola se acerca a la tercera bola a gran velocidad.$v$mientras la tercera bola está en reposo. Tome el marco de descanso de estas dos bolas.

Ahora, repita el cuento de hadas anterior cuatro veces (podría hacerlo, sería muy emocionante, pero quiero salvar los discos duros del servidor) y terminará con la situación en la que las primeras cuatro bolas están en reposo y el quinto se mueve por la velocidad$v$A la derecha.

Dado que las pelotas iniciales no rebotan, la pregunta original se puede responder directamente como muestra la respuesta superior, pero necesitaba especificar que estaba asumiendo que las otras pelotas no rebotan ni se mueven. Puedo explicarlo sin matemáticas: más o menos bolas no pueden salir a una velocidad más lenta o más rápida porque la energía y el impulso deben conservarse, y cada uno es una función diferente de la velocidad. Si cambias la velocidad y no se mueven otras bolas, estarías violando uno de los principios de conservación. Por ejemplo, si solo 1 bola saliera con el doble de velocidad, el impulso sería el mismo (se conservaría) que las 2 bolas entrantes, pero habría el doble de energía en la bola saliente que en las 2 bolas entrantes. Por el contrario, si 4 bolas salen con la mitad de la velocidad, se conservará el impulso,

Sin embargo, es mucho más difícil responder a la pregunta si se permite que otras pelotas reboten en la otra dirección.

Las respuestas basadas en la separación no son correctas y un cartel insinuó cómo se puede explicar realmente el dispositivo. Es solo un accidente que el cálculo de la serie de golpes independientes sea correcto para varias bolas del mismo peso. Imagina 3 pelotas con la del medio que es mucho más pesada. La primera bola rebotará, que no es lo que sucede cuando se tocan. Entonces el cálculo es incorrecto por una razón fundamental. Cuando se tocan, la bola pesada del medio está en un estado comprimido, aún sin empujar hacia atrás a la primera bola para hacer que rebote antes de que libere energía a la última bola. Esto no se puede modelar con un par llamativo seguido de otro. Para verlo todo más claramente, modele las bolas como resortes grandes y débiles.

pero la solución para las velocidades finales se puede encontrar examinando la compresión y expansión de los metales como resultado de las ondas de choque. La conservación de la energía y el impulso son adecuados para explicar el sistema si la energía potencial y el tiempo de transición se incluyen en los cálculos de conservación de la energía".

Ahora, para responder a la pregunta original: como dijo el otro cartel, la onda de choque se encuentra en un punto simétrico a la colisión original. Sin embargo, la respuesta es más complicada si las bolas al final tienen el mismo peso pero diferente longitud. Para empezar, las ondas de choque no se encontrarán, pero el sistema de metal en expansión eventualmente hará que las bolas de igual peso se separen para que las bolas iniciales no reboten.

Actualización/corrección importante:

Al observar esto con mucho más detalle, descubrí que nadie entiende cómo funciona la cuna. La teoría de la onda de choque reflejada proviene de: http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/ajp/Ball-chain_part1.pdf

pero estos investigadores siguieron este artículo con este: http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/ajp/Ball-chain_part2.pdf
y luego otros: http://www-astro.physics.ox.ac .uk/~ghassan/newton_cradle_2.pdf

en el que muestran que el tiempo de colisión es 10 veces más lento que la propagación de ondas de sonido (choque), lo que indica "compresión hertziana" (no simplemente ondas de choque) describe la cuna al incluir la elasticidad de las interfaces entre las bolas. Hay 4 interfaces en 5 bolas, por lo que la energía y el momento dan la solución para la velocidad final de 2 bolas y luego la relación de las 3 interfaces subsiguientes a la primera interfaz da las 3 variables necesarias para resolver las otras 3 bolas. ellos aplican$F=ma$a cada bola donde está en contacto con sus 1 o 2 vecinas, sujeto a una fuerza pseudo-resorte (hertziana) en la superficie de contacto de$F=kx^{1.5}$más bien que$F=kx$. Esto da un conjunto de ecuaciones diferenciales interdependientes que estableceré para el caso más general de diferentes masas y diferentes constantes de resorte superficial (módulo de Young) al final. Esto puede estar de acuerdo con el experimento para el caso de 1 bola golpeando 4 que están en contacto, pero da una solución para el caso de 2 golpeando 3 que no es correcta. Resolví este sistema de ecuaciones en Excel y obtuve el mismo resultado que este documento: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/hinch/publications/PRSLA455_3201.pdfen el que las velocidades de las bolas 4 y 5 serían teóricamente 0,80 y 1,14 veces la velocidad de las 2 bolas entrantes. El documento afirma que se puede observar la diferencia de velocidad, pero no señalan que se trata de una diferencia de 2 veces la energía cinética y, por lo tanto, la altura alcanzada por la 5.ª bola es 2 veces mayor que la 4.ª, que no es lo que sucede. en absoluto. (Si la quinta bola sale 30 grados como máximo, la cuarta bola teóricamente alcanzaría solo 21 grados, que no es lo que sucede: ambas alcanzan los 30 grados al mismo tiempo). Aquí están los$F=ma$ecuaciones que tienen que ser resueltas con runge-kutta, si la teoría hertziana es correcta. Lo hice en Excel.
$x$es el desplazamiento desde el punto de reposo

$$\begin{align} m_1a_1 &= - A(x_1-x_2)^{1.5} \\ m_2a_2 &= A(x_1-x_2)^{1.5} - B(x_2-x_3)^{1.5} \\ m_3a_3 &= B(x_2-x_3)^{1.5} - C(x_3-x_4)^{1.5} \\ m_4a_4 &= C(x_3-x_4)^{1.5} - D(x_4-x_5)^{1.5} \\ m_5a_5 &= D(x_4-x_5)^{1.5} \end{align}$$

dónde

$$\begin{align} A=\left(\frac2{(1/{k_1})^{2/3}+(1/{k_2})^{2/3}}\right)^{1.5} \\ B=\left(\frac2{(1/{k_2})^{2/3}+(1/{k_3})^{2/3}}\right)^{1.5} \\ C=\left(\frac2{(1/{k_3})^{2/3}+(1/{k_4})^{2/3}}\right)^{1.5} \\ D=\left(\frac2{(1/{k_4})^{2/3}+(1/{k_5})^{2/3}}\right)^{1.5} \end{align}$$

Para conectarse a runge-kutta:

$$a=\frac{\mathrm dV(t)}{\mathrm dt}\ \text{and}\ x=tV(t)$$

$A, B, C, D$son la constante elástica neta efectiva entre cada par de bolas para la compresión superficial.

Entonces, para 2 bolas o más bolas que golpean a las demás, nadie sabe cómo funciona. Incluso en 2004, estos documentos se describieron incorrectamente como la solución completa: http://www.maths.tcd.ie/~garyd/Publications/Delaney_2004_AmJPhys_Rocking_Newtons_Cradle.pdf

Las personas que responden preguntas como esta cometen el terrible error de recurrir a las matemáticas simplistas que se encuentran en los libros de física, olvidando que las matemáticas simplistas no representan ni los mecanismos atómicos ni la forma real en que funciona el impulso en el mundo real.

La cuna de Newton nos obliga a considerar algunas consecuencias muy interesantes de la física en el mundo real. El hecho de que la cuna utilice esferas significa, por ejemplo, que la transferencia de energía se produce a través de un punto de contacto con la superficie que (en teoría) tiende a cero. Las esferas están diseñadas para aproximarse a un material perfectamente elástico.

Aquí hay una pregunta. ¿Qué pasaría si una esfera al final fuera reemplazada por una esfera de tamaño idéntico con el doble de masa? Levantar esta bola seguramente sería como levantar dos bolas ordinarias, pero ¿la colisión conduciría a que dos esferas en el otro extremo se despegaran?

La solución está en la teoría de las ondas (ondas de choque que viajan a través del metal, al igual que las ondas de sonido viajan a través del aire). Normalmente, una colisión de n bolas hace que n bolas se levanten en el otro extremo, porque la onda de choque se puede considerar como n bolas de largo, viajando por la fila de bolas una vez que ocurre la colisión inicial. Es importante tener en cuenta que la velocidad de colisión de la bola siempre debe ser mucho menor que la velocidad de propagación de la onda de choque a través del metal, para que la cuna se comporte como se espera.

Volviendo a la cuestión de la bola más pesada, bueno, en este caso, la mayor masa en la esfera del mismo tamaño implica una mayor densidad, lo que cambiará la velocidad a la que se propaga una onda de choque a través del material. ¿Qué sucede cuando una onda de sonido se mueve entre materiales de diferente densidad? El tono y la longitud de onda cambian. El mismo proceso nos da la refracción en un prisma para la onda que es la luz.

A nivel atómico, el concepto de onda de choque va a ser difícil de concebir, ya que la energía en este caso entra en cada nueva esfera por un diminuto punto de contacto. El 'ancho' de la energía que viaja por la línea de bolas determinará cuántas bolas salen del otro extremo, siendo la energía esencialmente de naturaleza cinética. La inercia evita que el impulso cinético desplace significativamente las bolas hasta que solo las bolas de los extremos contienen la energía cinética y, por lo tanto, pueden comenzar a moverse.

¡Cada físico debería tener un mantra que repetir una y otra vez! “El modelo no es la realidad”. El modelo es una herramienta matemática que construimos para predecir el comportamiento bajo ciertas restricciones (restricciones que quizás aún no entendamos). Vemos a personas que luchan con el problema de la cuna de Newton porque insisten en creer que los modelos simplistas nunca deben ser reemplazados por una comprensión más sofisticada. Solo mire la tontería que exige que las bolas tengan un espacio mínimo entre sí para que el modelo simple pueda incluso aplicarse en primer lugar. Mire a los tontos que piensan que es un problema de n-bolas (no permiten bolas de diferentes tamaños o densidades), como si la física subyacente tuviera algo que ver con macrocolecciones de trillones de átomos en una forma particular agradable para los humanos.

La teoría ondulatoria es fundamental para la física moderna. Las personas que se preocupan por contemplar la dinámica de los cuerpos en movimiento siempre deben estar preparadas para cambiar a una comprensión más profunda de la propagación de la energía a través de varios materiales cuando el problema cambia claramente de modelos matemáticos muy simples a modelos que deben tener en cuenta los mecanismos subyacentes causados ​​por la naturaleza. de los átomos (y sus enlaces). La física newtoniana a nivel macro solo proporcionará soluciones correctas si las suposiciones clave siguen siendo válidas. La cuna de Newton es un ejemplo de un experimento en el que la física newtoniana debe considerarse en cambio a nivel atómico (la creación de la onda de choque). Las matemáticas de nivel macro (un modelo muy simplificado de la realidad) no darán resultados correctos.