Conservación del impulso + conservación de la energía + segunda ley de Newton = ¿Contradicción?

Cuando un cuerpo con una masa de 1 kg se mueve a una velocidad constante de 1 m/s y choca (colisión elástica) con un cuerpo con la misma masa que está en reposo, sabemos por la conservación de la cantidad de movimiento y la conservación de la energía que el primer cuerpo se detendrá y el otro cuerpo comenzará a moverse a 1 m/s.

La segunda ley de Newton establece que F = metro d v d t , por lo tanto, la velocidad tiene que ser continua (de lo contrario, no tiene derivada).

En nuestra colisión, la velocidad del segundo cuerpo antes de la colisión es 0 m/s, y luego es 1 m/s. Del teorema del valor intermedio obtenemos que, en algún momento, la velocidad es de 0,5 m/s.

Los dos cuerpos tienen la misma masa, por lo tanto, de la conservación de la cantidad de movimiento obtenemos que, en ese momento, la velocidad del primer cuerpo también es de 0,5 m/s.

Calculando la energía cinética total nos dará ∑ mi k = 0.25  j

antes del choque, la energía cinética total es ∑ mi k = 0.5  j

Eso parece ser una contradicción con la conservación de la energía.

¿Me estoy perdiendo algo?

Por lo general, tratamos las colisiones como instantáneas para simplificar las cosas, pero como usted señala, un modelo más realista trataría las velocidades como continuas. Para este caso, es útil pensar en los dos cuerpos como grupos de átomos conectados por resortes. Durante el período de tiempo en que los dos cuerpos chocan, se comprimen y los resortes imaginarios almacenan la energía como energía potencial. Como puedes imaginar, los resortes rebotan y liberan energía rápidamente después. En las colisiones elásticas, el 100 % de la energía se convierte de nuevo en energía cinética.
Esta es una respuesta. De hecho, es la respuesta. Así que no es un comentario.

Respuestas (4)

No hay contradicción entre la conservación del momento y la energía y la segunda ley de Newton. Su análisis tiene un pequeño error que hace que la conclusión sea incorrecta.

Específicamente, la conservación de la energía no implica la conservación de la energía cinética. La energía cinética no se conserva en general. Entonces, encontrar un cambio en la energía cinética es insuficiente para mostrar la no conservación de la energía. En su lugar, necesitaría mostrar un cambio en la energía total. Como han indicado otros, en este caso la otra energía es la energía potencial elástica. La energía total se conserva.

Ahora, podría decir que la energía cinética no se conserva en general, pero que la energía cinética se conserva en una colisión elástica. Por lo tanto, podría decir que si bien la objeción anterior sería correcta en general, no es válida en este caso específico.

Sin embargo, esto es un malentendido del significado de una colisión elástica. Una colisión elástica significa que la energía cinética inmediatamente antes de la colisión es igual a la energía cinética inmediatamente después de la colisión. No dice nada sobre la energía cinética durante la colisión. Entonces, nuevamente, la energía cinética que se convierte en energía potencial elástica tampoco contradice la restricción de colisión elástica.

Finalmente, en los comentarios argumentaste que no se puede almacenar energía potencial elástica en un cuerpo infinitesimal. Esta es simplemente una afirmación incorrecta como modelo matemático. Si escribe las matemáticas reales, encontrará que la cantidad de energía potencial elástica almacenada cuando v = 0.5   metro / s es constante e independiente del tamaño del objeto, por pequeño que sea.

sabemos por la conservación de la cantidad de movimiento y la conservación de la energía que el primer cuerpo se detendrá y el otro comenzará a moverse a 1 m/s.

La energía cinética se conserva solo si la colisión es perfectamente elástica. Esto significa que mientras los dos objetos están en contacto, parte de la energía se almacenará como energía potencial elástica que luego se convierte nuevamente en energía cinética.

por lo tanto de la conservación de la cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento se conserva solo si no hay fuerzas externas que actúen sobre el sistema de partículas. También decimos que la cantidad de movimiento se conserva si las fuerzas externas son mucho más pequeñas en magnitud que la fuerza de colisión que se forma entre las partículas, pero esto es solo una aproximación. Si quieres saber más, revisa qué es impulso en contexto de fuerzas.

Eso parece ser una contradicción con la conservación de la energía.

¿Me estoy perdiendo algo?

Sí, durante la colisión (elástica) hay una porción de energía almacenada como energía potencial elástica.

Según lo que encontré en el sitio web de la academia Khan, la energía potencial elástica existe solo cuando una fuerza intenta deformar el cuerpo. Pero si los cuerpos en mi caso son infinitesimalmente pequeños (como en la mecánica newtoniana simple), entonces no existe tal cosa como "deformarlos". (Sé que los cuerpos infinitesimalmente pequeños en realidad no existen, pero estoy preguntando sobre la mecánica newtoniana, no sobre nuestro universo real. Puedes pensar en mi pregunta como una pregunta sobre un modelo matemático)
@Ben Cuando estudias las colisiones en la mecánica newtoniana, no se supone que los objetos tengan un carácter puntual. Puede considerarlos como puntos, pero no hay una fase intermedia entre el estado inicial y el final. O consideras un caso idealizado o uno más realista. No puedes tener la mitad de ambos.

La solución es que la energía se almacena en la deformación de los objetos. Para mantener su argumento, podría asumir la incompresibilidad. Sin embargo, en este límite el intervalo de tiempo durante el cual ambos objetos se mueven simultáneamente llega a cero. En este límite, por lo tanto, su argumento ya no se sostiene. Este límite también requeriría un tamaño infinitesimal para ser compatible con la relatividad especial.

El tiempo llega a cero, ¿y qué? las conservaciones de energía y cantidad de movimiento y la segunda ley de Newton siguen siendo válidas, por lo que todo es igual.
@Ben, si el tiempo de interacción es cero, las velocidades son discontinuas, por lo que su argumento de valor medio no es aplicable.
¿Cómo puede ser discontinua la velocidad? Mostré a partir de la segunda ley de Newton que tiene que ser continuo (ver mi pregunta original arriba).
@ben Depende de ti. Si considera que los objetos son comprimibles, entonces se debe tener en cuenta la energía potencial. Si no acepta esto, los cuerpos deben ser incompresibles pero esto implica que las velocidades son discontinuas y la fuerza es infinita.

La energía total del sistema debe ser constante, y antes y después del choque es la energía cinética de uno de los cuerpos.

Pero durante la muy pequeña d t de lo que llamamos contacto, no se puede despreciar la energía electrostática potencial entre los átomos de la superficie. Es exactamente esta energía potencial la fuente de la fuerza del impacto sobre los objetos.

Entonces, durante d t la energía cinética es menor y la suma de energía potencial y cinética se mantiene constante.

Conservación del impulso + conservación de la energía + segunda ley de Newton = ¿Contradicción?
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