¿Cuál es el resultado de una colisión clásica entre TRES partículas puntuales en el mismo instante preciso?

Se dice que la mecánica clásica es determinista, afirmación que casi siempre va seguida de esa cita de Laplace, algo así como

Si en algún momento se conocieron las posiciones y velocidades de todas las partículas del universo, las leyes de la ciencia deberían permitirnos calcular sus posiciones y velocidades en cualquier otro momento, pasado o futuro.

Siempre me rasco la cabeza después de escuchar/leer eso. Si 3 o más partículas puntuales rígidas chocan elásticamente en el mismo instante preciso , ¿no es imposible predecir las trayectorias resultantes? Si es posible, ¿cómo?

Por supuesto, una colisión clásica de dos partículas se resuelve fácilmente examinando el problema en el marco de referencia del centro de masa, donde tanto la conservación de la energía como la cantidad de movimiento juntos permiten resolver el problema... La pregunta es acerca de 3 partículas puntuales clásicas que colisionan exactamente en el mismo instante. ¿Como resolver el problema? Y si no se puede resolver, ¿por qué se dice que la mecánica clásica es determinista?
¿Por qué es esto más difícil que 2 puntos?
@Gugg: porque (si no me equivoco) las dos condiciones (conservación de la energía y conservación del impulso) no son suficientes para determinar el sistema de ecuaciones resultante en el caso de tres o más partículas.
¿Y para 2 partículas que son?
@Gugg, sí, mira aquí .
Eso es solo en 1 dimensión. En más dimensiones, debe asumir una partícula con forma de bola. Entonces puedes hacer 3 dimensiones también.
@Mephisto 2 partículas en 3 dimensiones tienen 6 grados de libertad. La conservación del impulso (3) y la energía (1) da solo 4 ecuaciones.
En el problema de n-cuerpos, las colisiones de más de 2 partículas simultáneas no pueden continuarse analíticamente, ver en.wikipedia.org/wiki/… , el "truco" es descartarlas como altamente improbables, es decir, los datos iniciales que producirían una tiene la medida de Lebesgue cero.
@Jaime Interesante! Eso es solo si se asume la gravedad entre las partículas, ¿verdad?
@Gugg Sí, creo que tiene más que ver con que el potencial gravitacional se vuelva infinito.
@Jaime, ¿eso significa que Lagrange y los demás simplemente descartaron la posibilidad de una colisión aleatoria y sincronizada de tres partículas en todo el Universo cuando pensaron que el futuro podría predecirse hipotéticamente conociendo todas las posiciones y momentos en un momento dado?

Respuestas (2)

Tomar en serio el caso de las partículas puntuales y las colisiones de "contacto" en realidad causa problemas incluso en el caso bidimensional: las fuerzas instantáneas son necesariamente infinitas incluso si los impulsos siguen siendo finitos.

La solución a ese problema, reconocer que todas las partículas reales interactúan a través de campos a distancias distintas de cero, también resuelve el problema de las tres partículas. Simplemente integre las ecuaciones de movimiento (posiblemente numéricamente, ya que esto puede no ser fácil en forma cerrada).

Esto no es necesariamente en el caso de 2 partículas elásticas porque la conservación de la energía y el momento restringen completamente el resultado, lo que nos permite eludir esta pregunta en una presentación introductoria.

No soy un mecánico clásico, pero he leído sobre soluciones catastróficas del clásico problema de tres partículas puntuales + gravedad donde las partículas chocan. Entonces las ecuaciones de movimiento se vuelven singulares y la evolución no puede continuar de manera única. Estas soluciones forman un "conjunto de medida cero" en el espacio de solución (confieso que no sé la medida utilizada). Creo que este problema está relacionado con el hecho de que las partículas puntuales siempre son singulares y necesitan regularización (radio finito o similar), incluso cuando aparecen junto con teorías de campo. Intentaré encontrar un ref. Esperemos que venga un experto.
Hmmm. No había visto eso, pero no estoy profundamente sorprendido. El problema son las partículas puntuales, por supuesto. En algún momento, a medida que las escalas de distancia se vuelven muy cortas, debe abandonar el ámbito clásico porque el campo cuántico llega a dominar la interacción. En cualquier caso, el vínculo es fascinante.
@dmckee, gracias por tu respuesta. Sin embargo, mi pregunta es sobre la mecánica clásica y cómo se puede decir que es 'determinista' si no se puede resolver una simple colisión de tres partículas. ¿Cómo es que Lagrange y otros antes de la década de 1930 pensaron que teóricamente podíamos predecir el futuro y ver el pasado si fuéramos capaces de conocer todas las posiciones y momentos de las partículas en el Universo y así sucesivamente... Todo dentro del marco de la teoría clásica? mecánica. Pero, de nuevo, gracias por intentar una respuesta. La pregunta sigue abierta, es decir, todavía no entiendo por qué Classical Mech es determinista.
@Mephisto: la mecánica clásica es determinista cuando se aplica a objetos y campos de tamaño finito utilizando la mecánica continua en continuos con densidad finita. El problema es que se rompe la noción de partículas puntuales, no la mecánica clásica.

No he encontrado ninguna referencia al respecto. El siguiente es mi enfoque para partículas puntuales, chocando en el mismo punto del espacio al mismo tiempo (colisión elástica).

Consideremos el movimiento 2D y las partículas que viajan hacia el punto de colisión. Si las masas y los momentos fueran iguales, sería natural suponer por simetría, dispersarse con iguales momentos, en las mismas direcciones entrantes, pero en sentido opuesto.

Mientras que si solo una partícula tuviera un impulso diferente a las otras dos, la simetría sería a lo largo de la desigual. Las componentes de las dos partículas iguales, perpendiculares a la línea de simetría, deben permanecer sin cambios (solo el sentido opuesto). Y los componentes a lo largo de la línea de simetría serían calculados por el balance del momento de la partícula entrante y la suma de los componentes de los dos restantes (2 veces el valor de uno debido a la simetría), lo que replicaría el caso de colisión con una partícula dos veces más masiva que una de las dos iguales, cuya velocidad se reduce por el coseno (porque es la componente del momento original).

En cuanto al caso en el que todos los momentos y masas son diferentes, generalizaría equilibrando cada partícula con las componentes de las otras dos a lo largo de su dirección. Esto daría tres ecuaciones, pero solo dos de ellas serían linealmente independientes. Esto sería algo similar a la figura (aunque en dicha figura los momentos iniciales son cero y las partículas se atraen entre sí)

Imagen tomada de Scholarpedia

Finalmente, tenga en cuenta que la restricción mencionada (movimiento 2D) también se aplica a las colisiones 3D, porque el movimiento del centro de masa se produce en un plano.

De hecho, si elegimos las líneas de movimiento de dos de las partículas, estas dos líneas definen un plano. La tercera línea estará en general fuera de este plano. Definamos además el plano que contiene las tres partículas en cualquier momento, como el plano del centro de masa. Las proyecciones de los momentos de cada una de las partículas en este plano no cambian en el tiempo, ya que los momentos totales y sus ángulos con este plano no lo hacen. Más aún, las componentes de los momentos perpendiculares a este plano son iguales para todas las partículas, ya que este plano se mueve hacia el punto de colisión. De ahí el nombre centro de plano de masa . (si lo prefiere, puedo proporcionar una prueba matemática)

¿Cuál es el resultado de una colisión clásica entre TRES partículas puntuales en el mismo instante preciso?
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