La aproximación de Taylor es diferente del valor real

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La aproximación de Taylor es diferente del valor real

Matemáticas
aproximación
métodos numéricos

sammyyy

El problema es usar el $n$ polinomio de Taylor para aproximar el valor de $F(x)=x^{2}\cos{x}$ con $n=3,x_{0}=-2,x=-1.09$ .

Descubrí que el $3$ El tercer polinomio de Taylor con resto es

\begin{aligned} X^{2} porque X = & 4 porque (2) + [- 4 porque (2) + 4 pecado (2)] [X + 2] + [- porque (2) - 4 pecado (2)] [X + 2]^{2} + \\ [2 porque (2) + \frac{1}{3} pecado (2)] [X + 2]^{3} + [\frac{(X + 2)^{4}}{24}] [- 8 porque (ξ (X)) + dieciséis pecado (ξ (X))] \end{aligned}

$\begin{align*} x^{2}\cos{x} =& 4\cos(2)+[-4\cos(2)+4\sin(2)][x+2]+[-\cos(2)-4\sin(2)][x+2]^{2}+ \\ & [2\cos(2)+ \dfrac{1}{3}\sin(2)][x+2]^{3} + [\dfrac{(x+2)^{4}}{24}][-8\cos(\xi(x))+16\sin(\xi(x))] \end{align*}$

aproximando $x=-1.09$ utilizando el polinomio de Taylor,

\begin{aligned} (- 1.09)^{2} porque (- 1.09) = & 4 porque (2) + [- 4 porque (2) + 4 pecado (2)] [(- 1.09) + 2] + [- porque (2) - 4 pecado (2)] [(- 1.09) + 2]^{2} + \\ [2 porque (2) + \frac{1}{3} pecado (2)] [(- 1.09) + 2]^{3} + [\frac{((- 1.09) + 2)^{4}}{24}] [- 8 porque (ξ (X)) + dieciséis pecado (ξ (X))] \\ = & 0.0938985 + [\frac{((0.91)^{4}}{24}] [- 8 porque (ξ (X)) + dieciséis pecado (ξ (X))] \end{aligned}

$\begin{align*} (-1.09)^{2}\cos(-1.09) =& 4\cos(2)+[-4\cos(2)+4\sin(2)][(-1.09)+2]+[-\cos(2)-4\sin(2)][(-1.09)+2]^{2}+ \\ & [2\cos(2)+ \dfrac{1}{3}\sin(2)][(-1.09)+2]^{3} + [\dfrac{((-1.09)+2)^{4}}{24}][-8\cos(\xi(x))+16\sin(\xi(x))] \\ =& 0.0938985 + [\dfrac{((0.91)^{4}}{24}][-8\cos(\xi(x))+16\sin(\xi(x))] \end{align*}$

Sin embargo, $(-1.09)^{2}\cos(-1.09)=0.549479$ que es una gran cantidad de decimales diferentes de la aproximación de Taylor de $0.0938985$ .

¿Hay algo que extraño?

lutz lehmann

Tenga en cuenta que el término restante tiene un tamaño de aproximadamente

1

$1$ ,

\frac{\sqrt{3}}{3}

$\frac{\sqrt3}3$ con algo de esfuerzo, de modo que un error de

0.5

$0.5$ no es tan sorprendente.

sammyyy

Veo. Gracias. ¿Cuál sería el límite superior para el error de truncamiento?

lutz lehmann

Eso depende de cómo atas

x

$x$ . Sin límites se obtiene con Cauchy-Schwarz

| - 8 \cos (ξ) + 16 \sin (ξ) | \leq 8 \sqrt{1 + 2^{2}} \sqrt{\cos^{2} (ξ) + \sin^{2} (ξ)}

$|−8\cos(ξ)+16\sin(ξ)|\le 8\sqrt{1+2^2}\sqrt{\cos^2(ξ)+\sin^2(ξ)}$ , de modo que el límite refinado correcto en el coeficiente de arriba es

\sqrt{5} / 3 < 0.75

$\sqrt{5}/3<0.75$ . Por lo tanto, el error está acotado por

\frac{3}{4} | x + 2 |^{4}

$\frac34|x+2|^4$ .

Respuestas (2)

La aproximación de Taylor es diferente del valor real

Tenga en cuenta que el término restante tiene un tamaño de aproximadamente $1$ , $\frac{\sqrt3}3$ con algo de esfuerzo, de modo que un error de $0.5$ no es tan sorprendente.
Veo. Gracias. ¿Cuál sería el límite superior para el error de truncamiento?
Eso depende de cómo atas $x$ . Sin límites se obtiene con Cauchy-Schwarz $|−8\cos(ξ)+16\sin(ξ)|\le 8\sqrt{1+2^2}\sqrt{\cos^2(ξ)+\sin^2(ξ)}$ , de modo que el límite refinado correcto en el coeficiente de arriba es $\sqrt{5}/3<0.75$ . Por lo tanto, el error está acotado por $\frac34|x+2|^4$ .

Claudio Leibovici · Answer 1

Esto solo significa que el tercer orden no es suficiente en particular porque $-1.09$ esta muy lejos de $-2$ .

Para abreviar la historia, lo que tienes es

X^{2} porque (X) = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{(- {norte}^{2} + norte + 4) porque (2 - \frac{π norte}{2}) + 4 norte pecado (2 - \frac{π norte}{2})}{norte!} (X + 2)^{norte}

$x^2 \cos(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-n^2+n+4\right) \cos \left(2-\frac{\pi n}{2}\right)+4 n \sin \left(2-\frac{\pi n}{2}\right)}{n!}(x+2)^n$ Entonces, si truncas a

O ((x + 2)^{p + 1})

$O((x+2)^{p+1})$ tendrás los siguientes resultados

(\begin{array}{cc} 2 & 0.4926841712 \\ 3 & 0.0938985194 \\ 4 & 0.6047229336 \\ 5 & 0.5723469909 \\ 6 & 0.5466012534 \\ 7 & 0.5489493571 \\ 8 & 0.5495411050 \\ 9 & 0.5494858556 \\ 10 & 0.5494781119 \\ 11 & 0.5494788050 \\ 12 & 0.5494788702 \\ 13 & 0.5494788647 \\ 14 & 0.5494788644 \end{array})

$\left( \begin{array}{cc} 2 & 0.4926841712 \\ 3 & 0.0938985194 \\ 4 & 0.6047229336 \\ 5 & 0.5723469909 \\ 6 & 0.5466012534 \\ 7 & 0.5489493571 \\ 8 & 0.5495411050 \\ 9 & 0.5494858556 \\ 10 & 0.5494781119 \\ 11 & 0.5494788050 \\ 12 & 0.5494788702 \\ 13 & 0.5494788647 \\ 14 & 0.5494788644 \end{array} \right)$

elmercurio79 · Answer 2

Expande solo la serie del coseno alrededor $x=-2$ y tendrás:

X^{2} C o s X = X^{2} (C o s (2) + s i norte (2) [X + 2] - \frac{C o s (2) [X + 2]^{2}}{2} - \frac{s i norte (2) [X + 2]^{3}}{6})

$x^2cos x = x^2\left(cos(2) + sin(2)[x+2] - \frac{cos(2)[x+2]^2}{2} - \frac{sin(2)[x+2]^3}{6}\right )$

$\\$ (Expandiendo el

x^{2}

$x^2$ en un polinomio de Taylor y multiplicar todo por fuerza bruta también funciona, pero la serie de Taylor para

x^{2}

$x^2$ simplemente se reducirá a

x^{2}

$x^2$ de todos modos, por lo que no es necesario)

$\\$ evaluado en

x = - 1.09

$x=-1.09$ :

(- 1.09)^{2} C o s (- 1.09) \approx 0.549479

$(-1.09)^2cos(-1.09) \approx 0.549479$

$\\$

(- 1.09)^{2} (C o s (2) + s i norte (2) [0.91] - \frac{C o s (2) [0.91]^{2}}{2} - \frac{s i norte (2) [0.91]^{3}}{6}) \approx 0.557713

$(-1.09)^2\left(cos(2) + sin(2)[0.91] - \frac{cos(2)[0.91]^2}{2} - \frac{sin(2)[0.91]^3}{6}\right )\approx 0.557713$

Pero de esta forma no obtienes los mismos polinomios de Taylor de la función dada. Esto sería correcto si la tarea fuera simplemente evaluar eficientemente la función usando la serie de Taylor dado que los valores exactos de $\cos2$ y $\sin2$ fueron proporcionados desde otro lugar.
Veo tu punto y agradezco tus comentarios. Pero en la respuesta de Claude, hay términos de $cos(2-\frac{n\pi}{2})$ y y $sin(2-\frac{n\pi}{2})$ . ¿No es eso lo mismo? ¿Los valores exactos de estos también tienen que ser probados en otro lugar?
Ahora no me quejo, pero la pregunta pedía n=3 y parece que Claude tuvo que usar más términos para acercarse mucho.
Uno podría incluso preguntarse, 4 votos a favor en este momento, ¿es solo para echarme en cara que hice un trabajo tan malo?
No hiciste un mal trabajo, solo resolviste una tarea diferente y modificada. Escribiendo $\sin(x+\frac{n\pi}2)$ es solo una forma abreviada de escribir la secuencia de derivadas $\sin x,\,\cos x,\,-\sin x,\,-\cos x,\,\sin x,...$ , todos usando los mismos valores numéricos, solo que con diferentes signos.
Pero, ¿por qué está bien en la respuesta de Claude contener cos (2) y sin (2) mientras que en la mía no lo es?
¿Dónde ves que se toma la culpa? En su producto, solo contiene algunos términos que un truncamiento de grado 3 de la expresión completa no contendría. Por el contrario, en la respuesta correcta a la tarea dada, estos términos aparentemente importantes están todos contenidos desde el grado 5 en adelante, lo que refleja el comienzo de la aparición de dígitos correctos.
Ok, y mi solución en su forma expandida completa es en realidad también un quinto grado. Ese no es el problema. Su respuesta no es muy diferente de la mía si realmente la expandes, simplemente lo hice más rápido y más corto. Lo que no entiendo es por qué dijiste que cos (2) y sin (2) no pueden ser parte de esto, porque "los valores exactos deben proporcionarse en otro lugar", pero en su respuesta está bien contener cos(2) y sen(2)
Si tiene disponible una función de coseno precisa, la tarea no tiene sentido. Así que imagínate en una isla aislada, solo tienes disponible una tablilla de piedra en la que se encuentran los valores de $\cos2$ y $\sin2$ están grabados, y por alguna razón inefable necesitas calcular $f(-1.09)$ . Como dije, su enfoque es más eficiente, pero no es la tarea en cuestión.
Y no, tu fórmula expandida no es la tarea original del polinomio de Tayor de grado 5, ya que faltarían los términos derivados del grado 4 y los términos 5 de la serie del factor coseno.
Recibí el comentario de "discusión extendida", así que mi palabra final: Claude debe tener la misma tableta de piedra disponible, pero de alguna manera está bien, pero para mí no lo es.
Piense en el producto como un esquema rectangular, un eje los términos del primer factor, el otro del segundo. Dentro del esquema están los productos de los términos del eje. Los productos del mismo grado se ubican en anti-diagonales. o Lo que haces es sumar sobre un cuadrado de 3 términos de cada lado. o Lo que exige la tarea es sumar sobre el triángulo delimitado por la antidiagonal de grado 3. o El cuadrado 3 está contenido en el triángulo 5, pero no lo llena por completo.
Ok, no discuto eso, y gracias por aclararlo para mí (sin ser sarcástico). Lo que discuto es que no puedo tener cos(2) y sin(2) porque son valores exactos, pero él los tiene. ¡Gracias y que tenga un buen día!

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