NDSolve resuelve esta ecuación diferencial ordinaria solo "a medias"

Lo que exige del solucionador numérico es imposible en varios aspectos

1. El dominio de ODE está acotado, el solucionador puede violar el límite

El problema inmediato que produce su imagen de error es que su ODE no está definida fuera$|y|\le e^{1/2}$. Un solucionador numérico para$y'=f(x,y)$, especialmente aquellos con pasos internos de tamaño de paso adaptativo, pueden querer evaluar la función ODE$f$fuera de los límites de la solución visible, es decir, con$y$fuera del rango de la solución exacta y con$x$fuera del intervalo de integración dado. Puede haber opciones para restringir el dominio de$f$, como hacer cumplir la positividad, que puede extenderse a esta situación. Una medida provisional aquí es extender el dominio de$f$por continuación constante como en

$$y'^2=2\max(0,1-\ln(y^2))y^2.$$ El solucionador numérico permanecerá en la solución constante una vez que se alcance, y eso es correcto ya que es una aproximación de una de las posibles soluciones exactas a estos problemas de valor inicial.

1.-2. Conjunto completo de soluciones de la EDO implícita

En las raíces distintas de cero del lado derecho

$$0=(1-\ln(y^2))\iff y=\pm e^{1/2},$$ la ODE no es Lipschitz, ya que la raíz cuadrada funciona como una tangente vertical. Por lo tanto, la unicidad del teorema de Picard-Lindelöf no se aplica, las soluciones no constantes alcanzan estos valores. Uno puede insertar segmentos de estas soluciones constantes a voluntad en cualquier solución de curva de campana de Gauss para juntar más soluciones exactas de la EDO implícita.

2. No hay "arriba y abajo" en orden 1 ODE autónoma escalar

En cualquier ODE autónoma explícita$y'=f(y)$el comportamiento cualitativo está determinado por las raíces de$f$y el signo de$f$en los intervalos entre las raíces. Si el signo es positivo, entonces la solución es monótonamente creciente, si es negativa, entonces monótonamente decreciente. Si la ODE es diferenciable, entonces las raíces de$f$dé las soluciones estacionarias, constantes, y ninguna otra solución puede cruzarlas o siquiera alcanzarlas. Si la derivada no está acotada en alguna raíz, entonces la ODE es rígida en este punto, lo que dará problemas a cualquier solucionador numérico con soluciones que se acerquen a ese punto. El tipo de problemas también depende del solucionador, los solucionadores de pasos fijos pueden sobrepasar ese punto incurriendo en grandes errores cuantitativos y cualitativos, los solucionadores de pasos adaptativos tienden a detenerse al regular el tamaño del paso por debajo del épsilon de la máquina.

3. El signo de la raíz cuadrada es fijo

Al preparar la ODE implícita para el solucionador numérico, el CAS tiene que hacerlo explícito. Aquí esto implica elegir el signo de la raíz cuadrada. Una vez que se elige ese signo, permanece constante durante todo el proceso de integración. Habría que introducir algún tipo de manejo de eventos y definir eventos adecuados para efectuar un cambio de signo. Cómo funcionaría eso con la sintaxis de Mathematica dada, no tengo idea.

Y finalmente un tipo de solución.

A) Las derivadas de orden superior pueden servir como una especie de memoria.

Seleccionar el signo correcto de la raíz depende del comportamiento de la solución en los puntos anteriores. Si el término debajo de la raíz cuadrada no es cero, entonces se elegiría un signo positivo si la solución anteriormente era creciente y un signo negativo si era decreciente. Evitando toda especulación relacionada con los polinomios de Taylor, tomemos la derivada de la ODE original

$$y'y''=-2yy'+(1-\ln(y^2))2yy'=-2\ln(y^2)yy',\ y(0)=1, \frac12y'(0)^2=1$$ y excluyendo soluciones constantes, incluso segmentos constantes en una solución, uno puede dividir por $y'$encontrar $$y''=-2\ln(y^2)y,\quad y(0)=1, y'(0)=\pm\sqrt2$$ Pythons scipy.integrate.odeintpara esta ODE de segundo orden

def odefunc2(y,t): return [ y[1], -2*y[0]*np.log(y[0]**2) ]
sol2 = odeint(odefunc2,[ 1.0, 2**0.5],x)
plt.plot(x,sol2[:,0],'-b',x,sol2[:,1],'.g'); plt.grid(); plt.show()

resulta en la curva