¿Cómo se elige el cambio de coordenadas óptimo para la expansión de Chebyshev?

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¿Cómo se elige el cambio de coordenadas óptimo para la expansión de Chebyshev?

Matemáticas
aproximación
métodos numéricos
Polinomios de Chebyshev

Ruslán

Estoy investigando la implementación de SLATEC de la función Bessel $J_0$ computación (legible en C en GSL ), es decir, en su parte para argumentos en intervalo $(0,4)$ . Allí se usa una expansión de Chebyshev, pero la variable de entrada se transforma de manera no obvia. Como he entendido, sus coeficientes se calculan usando esta fórmula:

C_{metro} = \frac{2}{π} \int_{- 1}^{1} \frac{T_{metro} (X) j_{0} (\sqrt{8 (X + 1)})}{\sqrt{1 - X^{2}}} d X,

$c_m=\frac2\pi\int_{-1}^1\frac{T_m(x)J_0\left(\sqrt{8(x+1)}\right)}{\sqrt{1-x^2}}dx,$

y este cambio de coordenadas de $x$ a $\sqrt{8(x+1)}$ está destinado a transformarse del rango de trabajo de los polinomios de Chebyshev $(-1,1)$ a la interesante gama de argumentos de la función de Bessel $(0,4)$ . Pero este cambio parece algo complicado. Ingenuamente, prefiero empezar con algo como $2(x+1)$ , que también mapea $(-1,1)$ a $(0,4)$ . Pero cuando lo probé, descubrí que da una precisión mucho peor con $13$ términos de la expansión (error absoluto máximo $6\times10^{-11}$ contra $3\times10^{-16}$ en SLATEC).

Entonces, me pregunto ahora, ¿cómo se encontró esa transformación, que en realidad se usa en la implementación? ¿Se puede demostrar que es óptimo para la precisión deseada?

uranix

¿Entiendo bien que

c_{m}

$c_m$ son coeficientes del ajuste polinomial de Chebyshev de

J_{0} (\sqrt{8 (x + 1)})

$J_0(\sqrt{8(x+1)})$ ? Es decir

j_{0} (\sqrt{8 (X + 1)}) \approx \sum_{metro = 0}^{12} C_{metro} T_{metro} (X)

$J_0(\sqrt{8(x+1)}) \approx \sum_{m=0}^{12} c_m T_m(x)$

Ruslán

@uranix Correcto, pero para

m = 0

$m=0$ la suma debe tener

\frac{c_{0}}{2}

$\frac{c_0}2$ , no

c_{0}

$c_0$ según la relación de ortogonalidad de los polinomios de Chebyshev.

uranix

Solo una idea. Minimizar el valor absoluto de

c_{13} = \frac{2}{π} \int_{- 1}^{1} \frac{T_{13} (x) J_{0} (s (x))}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

$c_{13} = \frac{2}{\pi}\int_{-1}^1 \frac{T_{13}(x) J_0(s(x))}{\sqrt{1-x^2}}dx$ con respecto a

s (x) : s (- 1) = 0, s (1) = 4

$s(x): s(-1) = 0, s(1) = 4$ .

Respuestas (1)

¿Cómo se elige el cambio de coordenadas óptimo para la expansión de Chebyshev?

¿Entiendo bien que $c_m$ son coeficientes del ajuste polinomial de Chebyshev de $J_0(\sqrt{8(x+1)})$ ? Es decir $j_{0} (\sqrt{8 (X + 1)}) \approx \sum_{metro = 0}^{12} C_{metro} T_{metro} (X)$ $J_0(\sqrt{8(x+1)}) \approx \sum_{m=0}^{12} c_m T_m(x)$
@uranix Correcto, pero para $m=0$ la suma debe tener $\frac{c_0}2$ , no $c_0$ según la relación de ortogonalidad de los polinomios de Chebyshev.
Solo una idea. Minimizar el valor absoluto de $c_{13} = \frac{2}{\pi}\int_{-1}^1 \frac{T_{13}(x) J_0(s(x))}{\sqrt{1-x^2}}dx$ con respecto a $s(x): s(-1) = 0, s(1) = 4$ .

uranix · Answer 1

Dejar $s(x)$ sea la sustitución, es decir, estamos buscando una aproximación

j_{0} (s (X)) \approx PAG (X) = \frac{C_{0}}{2} T_{0} (X) + \sum_{metro = 1}^{METRO} C_{metro} T_{metro} (X), s (- 1) = 0, s (1) = 4.

$J_0(s(x)) \approx P(x) = \frac{c_0}{2}T_0(x) + \sum_{m=1}^{M} c_m T_m(x), \quad s(-1) = 0,\, s(1) = 4.$ con

C_{metro} = \frac{2}{π} \int_{- 1}^{1} \frac{T_{metro} (X) j_{0} (s (X))}{\sqrt{1 - X^{2}}} d X .

$c_m = \frac{2}{\pi}\int_{-1}^1 \frac{T_m(x) J_0(s(x))}{\sqrt{1-x^2}} dx.$

tomemos tal $s(x)$ entonces $J_0(s(x))$ es un polinomio $Q(x)$ de grado $M$ o menos. Ahora $J_0(s(x))$ se aproxima por $P(x)$ exactamente _ Eso $s(x)$ sería

s (X) = j_{0}^{- 1} (q (X)) .

$s(x) = J_0^{-1}(Q(x)).$ Ahora el problema no se trata de óptimo

s (x)

$s(x)$ (que hay infinitas) pero sobre simples

s (x)

$s(x)$ de esa forma. Al menos no debería implicar ninguna función especial.

Tomando

j_{0} (X) = 1 - \frac{X^{2}}{4} + O (X^{4})

$J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{4} + O(x^4)$ y descuidando

O (x^{4})

$O(x^4)$ término que podemos aproximar

J_{0}^{- 1} (v)

$J_0^{-1}(v)$ como

j_{0}^{- 1} (v) \approx 2 \sqrt{1 - v} .

$J_0^{-1}(v) \approx 2\sqrt{1-v}.$ Entonces

s (X) = 2 \sqrt{1 - q (X)} s (- 1) = 2 \sqrt{1 - q (- 1)} = 0 s (1) = 2 \sqrt{1 - q (1)} = 4 q (- 1) = 1, q (1) = - 3.

$s(x) = 2\sqrt{1-Q(x)}\\ s(-1) = 2 \sqrt{1 - Q(-1)} = 0\\ s(1) = 2 \sqrt{1 - Q(1)} = 4\\ Q(-1) = 1, \quad Q(1) = -3.$ un lineal

Q (x)

$Q(x)$ sería

q (X) = - 1 - 2 X .

$Q(x) = -1 - 2x.$ entonces

s (X) = 2 \sqrt{1 + 1 + 2 X} = 2 \sqrt{2 + 2 X} .

$s(x) = 2 \sqrt{1 + 1 + 2x} = 2 \sqrt{2 + 2x}.$ Esa es exactamente la sustitución de GSL.

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Ruslán

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Ruslán

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Respuestas (1)

uranix

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